Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 511332

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 9 и 12 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 37,5. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

Решение.

В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 7,5, а полусумма оснований равна 37,5, поэтому основания трапеции равны 30 и 45.

Предположим, что BC=45, AD=30 (рис. 1). Стороны и АD треугольников МВС и MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом k= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 . Значит,

MB= дробь, числитель — AB, знаменатель — 1 минус k =27 , MC= дробь, числитель — CD, знаменатель — 1 минус k =36.

Заметим, что M{{B} в степени 2 } плюс M{{C} в степени 2 }=B{{C} в степени 2 }, поэтому треугольник МВС — прямоугольный с гипотенузой . Радиус его вписанной окружности равен: r= дробь, числитель — MB плюс MC минус BC, знаменатель — 2 =9.

 

Пусть теперь AD=45, BC=30 (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника MAD равен 9. Треугольник MAD и МВС подобны с коэффициентом k= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 . Значит, радиус вписанной окружности треугольника МВС равен r=9k=6.

 

Ответ: 6; 9.


Аналоги к заданию № 500015: 500021 500470 501551 501557 505243 511332 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники