Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 500470

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Решение.

В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 7,5, а полусумма оснований равна 17,5, поэтому основания трапеции равны 10 и 25.

 

Предположим, что LM = 25, KN = 10 (рис. 1). Стороны LM и KN треугольников ALM и AKN параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом k= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 . Значит,

 

AL= дробь, числитель — KL, знаменатель — 1 минус k = дробь, числитель — 40, знаменатель — 3 , AM= дробь, числитель — MN, знаменатель — 1 минус k = дробь, числитель — 85, знаменатель — 3 .

Заметим, что AL в степени 2 плюс LM в степени 2 =AM в степени 2 , поэтому треугольник ALM прямоугольный с гипотенузой AM. Радиус его вписанной окружности равен:

 

r= дробь, числитель — AL плюс LM минус AM, знаменатель — 2 =5.

Пусть теперь KN=25, LM=10 (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника AKN равен 5. Треугольники AKN и ALM подобны с коэффициентом k= дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 . Значит, радиус вписанной окружности треугольника ALM равен r=5k=2.

 

Ответ: 2; 5.


Аналоги к заданию № 500015: 500021 500470 501551 501557 505243 511332 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов ·
Гость 07.04.2015 19:34

ПОЧЕМУ ТРАПЕЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ? ВЕДЬ В ЗАДАЧЕ ЭТОГО НЕ НАПИСАНО !!!!

Александр Иванов

Это получилось по расчетам, исходя из длин сторон