PDF-версии: 
Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 16 и 34 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 15, средняя линия трапеции равна 30. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.
Решение. Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований.
Действительно, рассмотрим произвольную трапецию XYZT с основаниями 
Пусть G и H — середины её диагоналей XZ и YT, a Q — середина боковой стороны 
Тогда GQ и HQ — средние линии треугольников XZT и YZT, поэтому 
и 
а так как 
то 
Значит, точки G, H и Q лежат на одной прямой. Следовательно,
что и требовалось доказать. Этот факт можно считать известным.
Перейдём к нашей задаче. Предположим, что KN > 
Тогда точки A и L лежат по одну сторону от прямой KN и 
Через вершину M проведём прямую, параллельную боковой стороне 
Пусть эта прямая пересекается с прямой KN в точке 
Тогда
Треугольник BMN — прямоугольный, так как
значит, прямые AK и KN перпендикулярны.
Из системы
находим, что 
Треугольник ALM подобен прямоугольному треугольнику MBN (по двум углам) с коэффициентом 
значит,
Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник 
Тогда
Пусть теперь 
Тогда точки A и L лежат по разные стороны от прямой 
В этом случае 
Пусть прямая, проведённая через точку N параллельно KL, пересекает прямую LM в точке 
Тогда треугольник ALM подобен прямоугольному треугольнику NCM с коэффициентом 
поэтому
Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник Тогда
Ответ: 3 или 9.
Приведём другое решение.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен полуразности большего и меньшего оснований трапеции, а средняя линия равна их полусумме. Пусть KN меньшее основание, а LM — большее. Тогда 
откуда 
Рассмотрим случай 1. Найдём высоту трапеции. Пусть 
и 
— высоты трапеции. Тогда из прямоугольных треугольников 
и 
имеем: 
Пусть 
тогда 
(см. рис.), поскольку 
имеем :
Следовательно, точка 
совпадает с точкой L, трапеция KLMN является прямоугольной (см. рис.). Продолжим KL и MN до пересечения в точке 
с коэффициентом подобия 
тогда 
искомый радиус окружности 
Рассмотрим случай 2 (Точка 
лежит на продолжении основания LM). Найдём высоту трапеции. Аналогично случаю 1 имеем:
В этом случае также совпадает с L, что исследовано в предыдущем случае.
В случае 3 (
) имеем
аналогично в случае 4.
Ответ: 3 или 9.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены оба случая и получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрен хотя бы один случай, для которого получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрен хотя бы один случай, для которого получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |