Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 505243

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 16 и 34 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 15, средняя линия трапеции равна 30. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Решение.

Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию XYZT с основаниями ХТ > YZ.

Пусть G и Н — середины её диагоналей XZ и YT, a Q — середина боковой стороны ZT. Тогда GQ и HQ — средние линии треугольников XZT и YZT, поэтому GQ||XT и  HQ || YZ, а так как  YZ || XT, то  HQ || XT. Значит, точки G, Н и Q лежат на одной прямой. Следовательно,

GH=GQ минус HQ= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 XT минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 YZ= дробь, числитель — XT минус YZ, знаменатель — 2 ,

что и требовалось доказать. Этот факт можно считать известным.

Перейдём к нашей задаче. Предположим, что KN > LM.

 

Тогда точки А и L лежат по одну сторону от прямой KN и  дробь, числитель — KN минус LM, знаменатель — 2 = 15. Через вершину М проведём прямую, параллельную боковой стороне KL. Пусть эта прямая пересекается с прямой KN в точке В. Тогда

BN = KN минус KB = KN минус LM= 30,BM=KL=16.

Треугольник BMN — прямоугольный, так как

BN в степени 2 плюс BM в степени 2 = 30 в степени 2 плюс 16 в степени 2 = 900 плюс 256 = 1156 = 34 в степени 2 = MN в степени 2 ,

значит, прямые АК и KN перпендикулярны.

Из системы

 система выражений  новая строка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (KN минус LM) = 15, новая строка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (KN плюс LM) = 30 конец системы .

находим, что KN = 45,LM = 15.

Треугольник ALM подобен прямоугольному треугольнику MBN (по двум углам) с коэффициентом  дробь, числитель — LM, знаменатель — BN = дробь, числитель — 15, знаменатель — 30 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , значит,

AL = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на BM = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 16 = 8, AM = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на MN = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 34 = 17.

Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ALM. Тогда

r= дробь, числитель — AL плюс LM минус AM, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 8 плюс 15 минус 17, знаменатель — 2 = 3.

Пусть теперь KN < LM.

Тогда точки А и L лежат по разные стороны от прямой KN. В этом случае KN = 15, LM = 45. Пусть прямая, проведённая через точку N параллельно KL, пересекает прямую LM в точке С. Тогда треугольник ALM подобен прямоугольному треугольнику NCM с коэффициентом  дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 , поэтому

AL = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 CN= 24, AM = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 MN= 51.

Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ALM. Тогда

r= дробь, числитель — AL плюс LM минус AM, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 24 плюс 45 минус 51, знаменатель — 2 = 9.

 

Ответ: 3 или 9.

 

Приведём другое решение.

 

Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен полуразности большего и меньшего оснований трапеции, а средняя линия равна их полусумме. Пусть KM меньшее основание, а LM — большее. Тогда

 дробь, числитель — LM минус KN, знаменатель — 2 =15, дробь, числитель — LM плюс KN, знаменатель — 2 =30,
откуда LM = 45, KN=15.

 

Первый случай. Найдём высоту трапеции. Пусть KK’ и NN’ — высоты трапеции. Тогда из прямоугольных треугольников KK'L и NN'M имеем:  KK' в степени 2 =KL в степени 2 минус LK' в степени 2 , NN' в степени 2 =NM в степени 2 – N'M в степени 2 . Пусть  LK'=x, тогда N'M=30 минус x (см. рис.), поскольку KK'=NN', имеем :

16 в степени 2 минус x в степени 2 =34 в степени 2 минус (30 минус x) в степени 2 равносильно (30 минус x) в степени 2 – x в степени 2 =34 в степени 2 – 16 в степени 2 равносильно (30 минус 2x) умножить на 30 = 18 умножить на 50 равносильно 2(15 минус x)=6 умножить на 5 равносильно 15 –x =15 равносильно x=0.

Следовательно, точка K' совпадает с точкой L, трапеция KLMN является прямоугольной (см. рис.). Продолжим KL и MN до пересечения в точке A. \bigtriangleup AKN \sim \bigtriangleup ALM_1 с коэффициентом подобия  дробь, числитель — KN, знаменатель — LM = дробь, числитель — 15, знаменатель — 45 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 , тогда AL= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 KL=24, AM= дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 NM=51, искомый радиус окружности r= дробь, числитель — 24 плюс 45 минус 51, знаменатель — 2 = 9.

 

Второй случай. Найдём высоту трапеции. Аналогично случаю 1 имеем:

16 в степени 2 минус x в степени 2 =34 в степени 2 минус (30 плюс x) в степени 2 равносильно

 равносильно (30 плюс x) в степени 2 минус x в степени 2 =34 в степени 2 минус 16 в степени 2 равносильно  равносильно (30 минус 2x) умножить на 30 = 18 умножить на 50 равносильно x=0.

В этом случае K' также совпадает с L, что исследовано в предыдущем случае.

 

В третьем случае имеем r= дробь, числитель — 8 плюс 15 минус 17, знаменатель — 2 =3, аналогично в четвертом случае.

 

Ответ: 3 или 9.


Аналоги к заданию № 500015: 500021 500470 501551 501557 505243 511332 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники