До­ка­жем сна­ча­ла, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей любой тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим про­из­воль­ную тра­пе­цию XYZT с ос­но­ва­ни­я­ми ХТ > YZ.

Пусть G и Н  — се­ре­ди­ны её диа­го­на­лей XZ и YT, a Q  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны ZT. Тогда GQ и HQ  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ков XZT и YZT, по­это­му и а так как то Зна­чит, точки G, Н и Q лежат на одной пря­мой. Сле­до­ва­тель­но,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Этот факт можно счи­тать из­вест­ным.

Пе­рейдём к нашей за­да­че. Пред­по­ло­жим, что KN > LM.

Тогда точки А и L лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой KN и Через вер­ши­ну М про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную бо­ко­вой сто­ро­не KL. Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке В. Тогда

Тре­уголь­ник BMN  — пря­мо­уголь­ный, так как

зна­чит, пря­мые АК и KN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Из си­сте­мы

на­хо­дим, что

Тре­уголь­ник ALM по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку MBN (по двум углам) с ко­эф­фи­ци­ен­том зна­чит,

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ALM. Тогда

Пусть те­перь KN < LM.

Тогда точки А и L лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой KN. В этом слу­чае Пусть пря­мая, про­ведённая через точку N па­рал­лель­но KL, пе­ре­се­ка­ет пря­мую LM в точке С. Тогда тре­уголь­ник ALM по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку NCM с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ALM. Тогда

Ответ: 3 или 9.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей равен по­лу­раз­но­сти боль­ше­го и мень­ше­го ос­но­ва­ний тра­пе­ции, а сред­няя линия равна их по­лу­сум­ме. Пусть KM мень­шее ос­но­ва­ние, а LM  — боль­шее. Тогда

Пер­вый слу­чай. Найдём вы­со­ту тра­пе­ции. Пусть и   — вы­со­ты тра­пе­ции. Тогда из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и имеем: Пусть тогда (см. рис.), по­сколь­ку имеем :

Сле­до­ва­тель­но, точка сов­па­да­ет с точ­кой L, тра­пе­ция KLMN яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной (см. рис.). Про­дол­жим KL и MN до пе­ре­се­че­ния в точке с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия тогда ис­ко­мый ра­ди­ус окруж­но­сти

Вто­рой слу­чай. Найдём вы­со­ту тра­пе­ции. Ана­ло­гич­но слу­чаю 1 имеем:

В этом слу­чае также сов­па­да­ет с L, что ис­сле­до­ва­но в преды­ду­щем слу­чае.

В тре­тьем слу­чае имеем ана­ло­гич­но в чет­вер­том слу­чае.

Ответ: 3 или 9.