Все члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа, за­клю­чен­ные между чис­ла­ми 510 и 740.

а)  может ли такая про­грес­сия со­сто­ять из че­ты­рех чле­нов?

б)  может ли такая про­грес­сия со­сто­ять из пяти чле­нов?

На­ту­раль­ные числа об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, причём все они боль­ше 500 и яв­ля­ют­ся квад­ра­та­ми на­ту­раль­ных чисел. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное, при ука­зан­ных усло­ви­ях, зна­че­ние

По­след­ние члены двух ко­неч­ных ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий a₁ = 5, a₂ = 8, ..., a_N и b₁ = 9, b₂ = 14, ..., b_M сов­па­да­ют, а сумма всех сов­па­да­ю­щих (взя­тых по од­но­му разу) чле­нов этих про­грес­сий равна 815. Най­ди­те число чле­нов в каж­дой про­грес­сии.

Дана по­сле­до­ва­тель­ность из не­сколь­ких на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дый сле­ду­ю­щий член от­ли­ча­ет­ся от преды­ду­ще­го либо на 12, либо в 8 раз. Сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 437.

а)  Какое наи­мень­шее число чле­нов может быть в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

Перед каж­дым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозволь­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего от каж­до­го из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел пер­во­го на­бо­ра от­ни­ма­ют каж­дое из об­ра­зо­вав­ших­ся чисел вто­ро­го на­бо­ра, а затем все 35 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Каж­дое из чисел 5, 6, . . ., 9 умно­жа­ют на каж­дое из чисел 12, 13, . . ., 17 и перед каж­дым про­из­воль­ным об­ра­зом ста­вят знак плюс или минус, после чего все 30 по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов скла­ды­ва­ют. Какую наи­мень­шую по мо­ду­лю сумму и какую наи­боль­шую сумму можно по­лу­чить в итоге?

Рас­смат­ри­ва­ют­ся ко­неч­ные не­по­сто­ян­ные ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии, со­сто­я­щие из на­ту­раль­ных чисел, ко­то­рые не имеют про­стых де­ли­те­лей, от­лич­ных от 2 и 3.

а)  Может ли в этой про­грес­сии быть три числа?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в этой про­грес­сии?

В ряд вы­пи­са­ны числа: Между ними про­из­воль­ным об­ра­зом рас­став­ля­ют знаки «» и «» и на­хо­дят по­лу­чив­шу­ю­ся сумму.

Может ли такая сумма рав­нять­ся:

а)  12, если ?

б)  0, если ?

в)  0, если ?

г)  5, если ?

Най­ди­те все целые зна­че­ния m и k такие, что

Дана по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел, причём каж­дый сле­ду­ю­щий член от­ли­ча­ет­ся от преды­ду­ще­го либо на 10, либо в 6 раз. Сумма всех чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти равна 257.

а)  Какое наи­мень­шее число чле­нов может быть в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чле­нов может быть в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?

Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия (с раз­но­стью, от­лич­но от нуля), со­став­лен­ная из на­ту­раль­ных чисел, де­ся­тич­ная за­пись ко­то­рых не со­дер­жит цифры 9.

а)  Может ли в такой про­грес­сии быть де­сять чле­нов?

б)  До­ка­жи­те, что число её чле­нов мень­ше 100.

в)  До­ка­жи­те, что число чле­нов вся­кой такой про­грес­сии не боль­ше 72.

г)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии с 72 чле­на­ми

Все члены гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии  — раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа, за­клю­чен­ные между чис­ла­ми 210 и 350.

а)  может ли такая про­грес­сия со­сто­ять из че­ты­рех чле­нов?

б)  может ли такая про­грес­сия со­сто­ять из пяти чле­нов?

Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, со­сто­я­щая из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, пер­вый член ко­то­рой мень­ше 10, не со­дер­жит ни од­но­го числа вида Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма пер­вых 10 чле­нов этой про­грес­сии?