Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 485939

Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 210 и 350.

а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Решение.

а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв b_{1}=216=6 в степени 3 и q= дробь, числитель — 7, знаменатель — 6 , получим

b_{2}=6 умножить на 6 умножить на 7=252, b_{3}=6 умножить на 7 умножить на 7=294, b_{4}=7 в степени 3 =343.

б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.

Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть q= дробь, числитель — m, знаменатель — k , где m и k — взаимно простые натуральные числа. Тогда:

210 меньше b_{1} меньше b_{2}=b_{1}q меньше ... меньше b_{5}=b_{1}q в степени 4 = дробь, числитель — b_{1}, знаменатель — k в степени 4 m в степени 4 меньше 350.

Так как m и k взаимно просты, b_{1} делится на k в степени 4 , а значит, m в степени 4 меньше 350, откуда m меньше или равно 4. Так как q больше 1,k меньше m. Но k — целое, поэтому k меньше или равно m минус 1 меньше или равно 3. Отсюда

q= дробь, числитель — m, знаменатель — k больше или равно дробь, числитель — m, знаменатель — m минус 1 =1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — m минус 1 больше или равно 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 = дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 .

Поэтому

b_{5}=b_{1}q в степени 4 больше или равно b_{1} дробь, числитель — 4 в степени 4 , знаменатель — 3 в степени 4 больше 210 умножить на дробь, числитель — 256, знаменатель — 81 больше 350,

что противоречит требованию задачи.

 

Ответ: а) да. б) нет.


Аналоги к заданию № 485939: 507630 Все

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Дмитрий Линей 30.04.2018 06:26

В определение геометрической прогрессии не входит условие, что q - рациональное число. Пример прогрессии для пункта б: q = корень пятой степени из 349/211

Александр Иванов

Но по условию все члены прогрессии натуральные числа