ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 507808 Добавить в вариант

Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a₁ = 5, a₂ = 8, ..., a_N и b₁ = 9, b₂ = 14, ..., b_M совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.

Спрятать решение

Решение.

Ясно, что

$a_m=5 плюс 3 левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка ,m=1,..., N,b_k=9 плюс 5 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка ,k=1,..., M.$

Общие члены прогрессий удовлетворяют уравнению:

$5 плюс 3 левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка =9 плюс 5 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка равносильно 3m=5k плюс 2.$

Левая часть последнего уравнения делится на 3, поэтому $k=3n минус 1,$ то есть $3m=15n минус 3,$ или $m=5n минус 1,$ где $1 меньше или равно n меньше или равно L.$ Найдём $L.$ Общие члены двух прогрессий сами образуют арифметическую прогрессию с первым членом равным 14, а последним  — равным $15L минус 1.$ Значит, $дробь: числитель: 14 плюс 15L минус 1, знаменатель: 2 конец дроби L=815 равносильно 15L в квадрате плюс 13L минус 1630=0,$ откуда $L=10.$ Поэтому $N=5L минус 1=49,M=3L минус 1=29.$

Ответ: 49 и 29.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обосновано получен верный ответ.	4
Ответ неверен, однако из-за арифметичской ошибки, но правильно указана арифметическая прогрессия общих членов.	3
Ответ неверен, однако есть попытка доказать, что общие члены прогрессий образуют арифметическую прогрессию.	2
Общие члены арифметических прогрессий находятся прямым перебором с ошибками. Ответ отсутствует или неверен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь