Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 507808

Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a1 = 5, a2 = 8, ..., aN и b1 = 9, b2 = 14, ..., bM совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найдите число членов в каждой прогрессии.

Решение.

Ясно, что

a_m=5 плюс 3(m минус 1),m=1,..., N,b_k=9 плюс 5(k минус 1),k=1,..., M.

Общие члены прогрессий удовлетворяют уравнению:

5 плюс 3(m минус 1)=9 плюс 5(k минус 1) равносильно 3m=5k плюс 2.

Левая часть последнего уравнения делится на 3, поэтому k=3n минус 1, то есть 3m=15n минус 3, или m=5n минус 1, где 1 меньше или равно n меньше или равно L. Найдём L. Общие члены двух прогрессий сами образуют арифметическую прогрессию с первым членом равным 14, а последним — равным 15L минус 1. Значит,  дробь, числитель — 14 плюс 15L минус 1, знаменатель — 2 L=815 равносильно 15L в степени 2 плюс 13L минус 1630=0, откуда L=10. Поэтому N=5L минус 1=49,M=3L минус 1=29.

 

Ответ: 49 и 29.