Дана последовательность из нескольких натуральных чисел, причём каждый следующий член отличается от предыдущего либо на 12, либо в 8 раз. Сумма всех членов последовательности равна 437.
а) Какое наименьшее число членов может быть в этой последовательности?
б) Какое наибольшее количество членов может быть в этой последовательности?
а) Последовательность не может состоять из двух членов, так как уравнения x + (x + 12) = 437, x +8x = 437 неразрешимы в целых числах.
Последовательность может состоять из трёх членов, например, так: 25 + 200 + 212 = 437.
б) Сумма двух соседних чисел равна как минимум 9; поскольку 437 = 48 · 9 + 5, будет самое большее 48 пар и ещё одно число. Но сумма может быть равна 9 только для пары 1 + 8, а если все пары такие, то добавить к ним число 5 нельзя. А для остальных пар сумма равна как минимум 14. Поэтому на самом деле 97 чисел обеспечить нельзя, а 96 чисел можно в ситуации 1, 8, 1, 8, 1, 8, ..., 1, 8, 1, 13 (пара 1, 8 повторяется 47 раз).
Ответ: а) 3; б) 96.
