Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 507630

Все члены геометрической прогрессии — различные натуральные числа, заключенные между числами 510 и 740.

а) может ли такая прогрессия состоять из четырех членов?

б) может ли такая прогрессия состоять из пяти членов?

Решение.

а) Приведём пример геометрической прогрессии из четырёх членов: взяв b_{1}=512=8 в степени 3 и q= дробь, числитель — 9, знаменатель — 8 , получим

b_{2}=8 умножить на 8 умножить на 9=576,b_{3}=8 умножить на 9 умножить на 9=648,b_{4}=9 в степени 3 =729.

б) Докажем, что прогрессии из пяти членов, удовлетворяющей условию задачи, не существует.

Предположим, такая последовательность есть. Без ограничения общности она возрастает; пусть её знаменатель есть q= дробь, числитель — m, знаменатель — k , где m и k — взаимно простые натуральные числа. Тогда прогрессия имеет вид:

510 меньше b_{1} меньше b_{2}=b_{1}q меньше ... меньше b_{5}=b_{1}q в степени 4 = дробь, числитель — b_{1}, знаменатель — k в степени 4 m в степени 4 меньше 740.

Так как m и k взаимно просты, b_{1} делится на k в степени 4 , а значит, m в степени 4 меньше 740, откуда m меньше или равно 5. Так как q больше 1,k меньше m. Но k — целое, поэтому k меньше или равно m минус 1 меньше или равно 4. Отсюда

q= дробь, числитель — m, знаменатель — k больше или равно дробь, числитель — m, знаменатель — m минус 1 =1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — m минус 1 больше или равно 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 5, знаменатель — 4 .

Поэтому

b_{5}=b_{1}q в степени 4 больше или равно b_{1} дробь, числитель — 5 в степени 4 , знаменатель — 4 в степени 4 больше 510 умножить на дробь, числитель — 625, знаменатель — 256 больше 740,

что противоречит требованию задачи.

 

Ответ: а) да. б) нет.


Аналоги к заданию № 485939: 507630 Все