СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 514898

Бесконечная арифметическая прогрессия, состоящая из различных натуральных чисел, первый член которой меньше 10, не содержит ни одного числа вида Какое наименьшее значение может принимать сумма первых 10 членов этой прогрессии?

Решение.

Числа вида будем называть запрещёнными. Вот начало последовательности запрещённых чисел: 1, 3, 6, 10, 15, ...

Пусть a и d — первый член и разность арифметической прогрессии. Так как число 1 запрещённое, то a > 1. Так как члены прогрессии — различные натуральные числа, то d > 0.

Если d = 1, то прогрессия будет содержать запрещённое число — например, 10. Если d = 2, то прогрессия также будет содержать запрещённое число — например, 10 для чётного a и 15

для нечётного a. Стало быть,

Сумма S первых 10 членов прогрессии равна:

С учётом полученных неравенств имеем оценку:

Нижнее значение 155 нашей оценки реализуется для прогрессии с a = 2 и d = 3 (то есть для прогрессии 2, 5, 8, ...). Остаётся показать, что эта прогрессия не содержит запрещённых чисел.

Под номером k в данной прогрессии идёт число Нам нужно доказать, что равенство

невозможно ни при каких k и n. Перепишем это равенство в виде:

Число n при делении на 3 может давать остатки 0, 1 или 2. Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.

1.

2.

3.

 

Всюду имеем противоречие: левая часть 6k делится на 3, а правая часть на 3 не делится (остаток 2 в первом и третьем случаях, остаток 1 во втором случае).

Таким образом, прогрессия 2, 5, 8, ... действительно не содержит запрещённых чисел. Поскольку для неё S = 155, то 155 — наименьшее значение величины S.

 

Ответ: 155.

Источник: И. В. Яковлев: Материалы по математике 2011 год
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Последовательности и прогрессии