Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C7 № 484654

Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Решение.

1. Если все числа первого набора взяты с плюсами, а второго — с минусами, то сумма максимальна и равна

5(14 плюс \ldots плюс 20) минус 7( минус 4 минус \ldots минус 8)=5 левая круглая скобка дробь, числитель — 14 плюс 20, знаменатель — 2 умножить на 7 правая круглая скобка плюс 7 левая круглая скобка дробь, числитель — 4 плюс 8, знаменатель — 2 умножить на 5 правая круглая скобка =35 умножить на 23=805.

2. Так как предыдущая сумма оказалась нечетной, то число нечетных слагаемых в ней — нечетно, причем это свойство всей суммы не меняется при изменении знака любого ее слагаемого. Поэтому любая из полученных сумм будет не четной, а значит, не будет равна 0.

3. Значение 1 сумма принимает, например, при следующей расстановке знаков у чисел:

5( минус 14 минус 15 плюс 16 минус 17 плюс 18 минус 19 плюс 20) минус 7( минус 4 плюс 5 плюс 6 минус 7 минус 8)= минус 5 умножить на 11 плюс 7 умножить на 8= минус 55 плюс 56=1.

Ответ: 1 и 805.


Аналоги к заданию № 484654: 484661 507489 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числовые наборы на карточках и досках
Спрятать решение · · Курс 80 баллов ·
Ирина Чеботарева 28.03.2013 16:57

Знаки проставляются только подбором?

Служба поддержки

Да.

Гость 30.03.2014 21:42

а сумма не может быть отрицательной? и если нет, то почему?

Александр Иванов

Может

Гость 03.04.2014 00:55

Тогда почему в ответе 1? из-за слов "по модулю"?

Александр Иванов

да

Сергей Максименко (Санкт-Петербург) 21.05.2014 12:22

Коллеги, я предлагаю пояснить:

 

1. Почему последовательности необходимо суммировать 5 и 7 раз соответственно.

2. Зачем дано трудно перевариваемое объяснение в п. 2.

3. Как без перебора привести пример минимальной суммы и нужен ли пример для решения задачи.

 

Мои предложения:

1 Обозначим P1 последовательность 14,\ldots,20 и P2 последовательность 4,\dots,8. Наличие тридцати пяти разностей означает, что каждое число из P1 взаимодействовало пять раз с числами из P2, а каждое число из P2 семь раз вычиталось из чисел P1. Следовательно конечная сумма состоит из пяти сумм P1 и семи сумм P2.

2. Минимальная возможная сумма последовательности целых чисел по модулю равна нулю. Если сумма чисел последовательности нечетна, то минимальное возможное значение по модулю может быть 1.

В нашей задаче S=5S(P1) плюс 7S(P2). Учтем, что любая S(P1) — нечетное число. Выпишем два столбца произведений натуральных чисел на числа 5 и 7. Найдем наименьшие (для простоты) значения в обоих столбцах отличающиеся на единицу, причем в столбце произведений на 5 это должно быть нечетное число, так как  S(P1) число нечетное. Минимальные числа в столбцах 55 и 56. Таким образом, необходимо найти S(P1)=11 и S(P2)=8 (|5 умножить на 11 минус 7 умножить на 8|=1). Так как при всех положительных знаках S(P1)=119, то необходимо разбить элементы P1 на две подсуммы с разностью 11. Значения подсумм (119 минус 11)/2= 54 и 54 плюс 11=65. Далее вручную формируем группы  плюс 14, плюс 15, плюс 16 и  плюс 20 и  минус 17, минус 18, минус 19.

Аналогично вторая последовательность разбивается на группы  плюс 5, плюс 6 и  минус 4, минус 7, минус 8

Итоговая сумма равна 1.

Константин Лавров

Спасибо за уточнения.

Пример, для полного решения задачи необходим: именно он и доказывает, что указанные суммы достигаются.