СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Каталог заданий.
Окружности

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д12 C4 № 505595

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.

а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.

б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства касательных, секущих, Свойства хорд, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и треугольники, Подобие

2
Задания Д12 C4 № 505601

Точки A, B, C лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 2 с цен­тром O, а точка K — на пря­мой, ка­са­ю­щей­ся этой окруж­но­сти в точке B, при­чем угол AKC равен 46°, а длины от­рез­ков AK, BK, CK об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию ( в ука­зан­ном по­ряд­ке).

а) До­ка­жи­те, что углы ACK и AOK равны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и C.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности

3
Задания Д12 C4 № 505607

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD,впи­сан­ном в окруж­ность, бис­сек­три­сы углов A и B пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, ле­жа­щей на сто­ро­не CD. Из­вест­но, что CD : BC = 3 : 2.

а) До­ка­зать, что рас­сто­я­ния от точки E до пря­мых AD и BC равны.

б) Найти от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADE и BCE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.
Методы алгебры: Формулы приведения
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

4
Задания Д12 C4 № 505637

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

а) Докажите, что

б) Найдите длину отрезка CE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства касательных, секущих, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности, Подобие

5
Задания Д12 C4 № 505643

Через вер­ши­ны B и C тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и M.

а) До­ка­зать, что тре­уголь­ни­ки ABC и AMK по­доб­ны.

б) Найти MK и AM, если AB = 2, BC = 4, CA = 5, AK = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.
Методы геометрии: Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Окружности, Подобие

Пройти тестирование по этим заданиям