Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину отрезка CE.
Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла. Для решения задачи докажем следующую лемму.
Лемма: точка O принадлежит стороне AB, то есть AB является биссектрисой угла DAF.
Доказательство: во-первых, из свойств секущих к окружности получим:
Тогда треугольники ABD и EBC подобны (угол ABD общий). Тогда ∠BDA = ∠BCE = β, ∠BAD = ∠BEC = γ.
Во-вторых, угол между дугой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на данную хорду, откуда ∠BFA = ∠ABD = α.
Далее, центральный угол AO2B в 2 раза больше вписанного угла AFB, поэтому 
Так как треугольник AO2B равнобедренный (AO2 = O2B = R1), то
Аналогично для угла ACE:
Углы 
и 
равны, как вертикальные, и потому получаем:
Отсюда получаем, что 
а значит точка O лежит на стороне AB. Лемма доказана.
Из леммы получили:
Тогда 
и треугольники AEC и EBC подобны по 2-м углам, откуда выпишем соотношения:
Из равенства первой и третьей дробей получим:
Тогда 
Проведем дополнительно отрезок EO — он является биссектрисой угла BEA, а значит и биссектрисой треугольника ABE. Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике имеем:
Требуемое доказано.
Ответ: 6.