В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD. Известно, что CD : BC = 3 : 2.
а) Докажите, что расстояния от точки E до прямых AD и BC равны.
б) Найдите отношение площадей треугольников ADE и BCE.
а) Точки, лежащие на биссектрисе угла, равноудалены от сторон этого угла. Поэтому точка Е равноудалена от прямых AD, AB и от прямых AB и BC. Следовательно, точка Е находится на равном расстоянии от прямых AD и BC.
(Другими словами перпендикуляры EM и EN, проведенные соответственно к сторонам угла A, равны, и перпендикуляры EN и EK, проведенные к сторонам BA и BC соответственно, равны. Поэтому EM = EK.)
б) Пусть 
Проведём отрезок A1B1 через точку E так, чтобы A1B1 был параллелен AB. В трапеции A1ABB1 по свойству углов, прилежащих к боковой стороне, 
По признаку вписанного четырехугольника ABCD 
следовательно:
Аналогично для углов 
и 
получаем
Для треугольника A1EA применим теорему о сумме углов. Запишем:
откуда AA1 = A1E по обратной теореме о равнобедренном треугольнике. Аналогично для треугольника BEB1:
и EB1 = BB1.
Треугольники A1ME и CKE равны по двум углам и стороне 
тогда A1D = B1C как соответствующие элементы. Треугольники A1DE и ECB1 равны по двум углам и стороне 
тогда EB1 = DE как соответствующие элементы.
Рассмотрим отрезки AD и BC:
значит,
Из пункта а) EM = EK, тогда по теореме о площадях треугольников с равными высотами для треугольников ADE и BCE получаем:
Ответ: 1 : 2.
Приведём другое решение пункта б).
Обозначим ME = EK = r и выразим площади треугольников:
Выразим через углы 
и 
стороны AD, BC и DC, предварительно найдя углы в данном четырехугольнике: 
Из треугольников AME и BEK соответственно получаем:
Из треугольника MDE:
Из треугольника CKE:
Тогда
Преобразуем полученные выражения для сторон:
Тогда получим:
Воспользуемся в числителе и знаменателе следующей формулой: 
откуда получим:
Осталось воспользоваться тем, что DC : BC = 3 : 2:
Обозначим для сокращения записи: 
Тогда:
Подставим z в искомую дробь и получим:
В итоге получили:
Ответ: 1 : 2.
В этой задаче приведено достаточно сложное и долгое решение пункта б). Хочется поделится своим решение без использования тригонометрии: https://www.geogebra.org/classic/yxkfjzka
У нас же два решения пункта б). То, которое без тригонометрии, такое же, как в Геогебре. Поставили его первым, чтобы было виднее. Не надо затирать на наших рисунках водяные знаки.