СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505601

Точки A, B, C лежат на окружности радиуса 2 с центром O, а точка K — на прямой, касающейся этой окружности в точке B, причем угол AKC равен 46°, а длины отрезков AK, BK, CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию ( в указанном порядке).

а) Докажите, что углы ACK и AOK равны.

б) Найдите расстояние между точками A и C.

Решение.

a) С учетом того, что отрезки AK, BK и CK составляют геометрическую прогрессию, введем обозначения: Из свойств касательной и секущей к окружности получим:

Отсюда следует, что KD = AK, то есть треугольник AKD равнобедренный. Тогда:

Далее, треугольники ODK и OAK равны по 3-м сторонам (DK = AK, AO = DO — радиус, OK — общая). Отсюда , то есть OK — биссектриса угла AOD. Вписанный угол ACD опирается на дугу AD и равен половине центрального угла AOD, то есть Что и требовалось доказать.

 

 

б) Заметим, что данная окружность описана вокруг треугольника ADC, откуда по теореме синусов следует:

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности