Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505601
i

Точки A, B, C лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 2 с цен­тром O, а точка K  — на пря­мой, ка­са­ю­щей­ся этой окруж­но­сти в точке B, при­чем угол AKC равен 46°, а длины от­рез­ков AK, BK, CK об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию ( в ука­зан­ном по­ряд­ке).

а)  До­ка­жи­те, что углы ACK и AOK равны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и C.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  С уче­том того, что от­рез­ки AK, BK и CK со­став­ля­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, вве­дем обо­зна­че­ния: AK = x, BK = kx, CK = k в квад­ра­те x. Из свойств ка­са­тель­ной и се­ку­щей к окруж­но­сти по­лу­чим:

BK в квад­ра­те = KD умно­жить на KC \Rightarrow левая круг­лая скоб­ка kx пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = KD умно­жить на k в квад­ра­те x\RightarrowKD = x.

От­сю­да сле­ду­ет, что KD = AK, то есть тре­уголь­ник AKD рав­но­бед­рен­ный. Тогда:

\angleKDA = \angleKAD = дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус 46 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 67 гра­ду­сов.

Далее, тре­уголь­ни­ки ODK и OAK равны по 3-м сто­ро­нам (DK = AK, AO = DO  — ра­ди­ус, OK  — общая). От­сю­да \angleDOK = \angleAOK, то есть OK  — бис­сек­три­са угла AOD. Впи­сан­ный угол ACD опи­ра­ет­ся на дугу AD и равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла AOD, то есть \angleACD = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angleAOD = \angleAOK. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

 

б)  За­ме­тим, что дан­ная окруж­ность опи­са­на во­круг тре­уголь­ни­ка ADC, от­ку­да по тео­ре­ме си­ну­сов сле­ду­ет:

дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: синус \angleADC конец дроби = 2R\RightarrowAC = 2 умно­жить на 2 умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус 67 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но AC = 4 синус 67 гра­ду­сов.

 

Ответ: 4 синус 67 гра­ду­сов.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 42
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025