Уравнения с параметром
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет единственное решение.
Заданное уравнение приведем к виду 
Рассмотрим функцию 
Найдем область ее определения.
Разложим на множители многочлен 
Попытаемся найти хотя бы один его целый корень, если он имеется. Целыми корнями 
могут быть только числа: 
Заметим, что числа 
таковыми не являются. При 
Значит, число 7 является корнем многочлена 
Делением "уголком" на 
получим 
Вычислим корни квадратного трехчлена
Заметим, что:
поскольку 
(неравенство верно).
так как 
(неравенство очевидное).
Итак, 
Найдем нули функции 
Для этого решим систему:
Поскольку 
это показано выше; 
то и разность
(
Делением «уголком» получим, что 
Далее:
Таким образом, число 
делит область определения функции на два промежутка знакопостоянства функции 
и 
Найдем эти знаки.
Заметим , что 
Действительно, 
Итак, на 
Очевидно, что 
На 
Если 
то уравнение будет иметь два корня: 
и 
То есть решение не единственное. Значит, значения 
и 
— не подходят.
Если 
то уравнение 
вообще не будет иметь корней, так как правая часть преобразованного уравнения обязана быть неотрицательной.
Следовательно, искомые значения параметра a будем искать только при выполнении условия 
т. е. при 
Теперь наша задача заключается в нахождении области значений функции 
на 
Имеем: 
Значит, 
Однако, в силу того, что требуется найти значения параметра a, при которых заданное уравнение имеет единственный корень, то функция на отрезке 
каждое свое значение должна принимать лишь один раз, т. е. функция на рассматриваемом отрезке обязана быть либо монотонно возрастающей, либо монотонно убывающей. Докажем, что она является монотонно убывающей.
Рассмотрим функцию 
на отрезке [0;1]
Найдем ее производную. 
Знаменатель на рассматриваемом интервале в нуль не обращается (это было показано выше). Следовательно, критические точки, если они есть, могут быть только в тех точках, в которых обращается в нуль числитель производной функции. Найдем эти значения.
Докажем, что эти корни не принадлежат промежутку (0;1).
Действительно, 
Итак, на рассматриваемом отрезке функция критических точек не имеет.
следовательно, функция 
на промежутке [0 ;1] монотонно возрастает.
Рассмотрим функцию 
на том же отрезке [0;1].
Эта функция имеет единственную критическую точку 
По характеру изменения значений функции её также отнесем к числу монотонно возрастающих, поскольку 
Заметим главное: скорость возрастания функции 
очевидно, будет больше, нежели скорость возрастания функции 
поскольку значения функции и 
уже в точке станут равными. И отсюда следует, что функция
монотонно убывает на [0;1]. Говоря по-другому, функция 
будучи разностью двух функций: (уменьшаемая) и (вычитаемая). Обе функции монотонно возрастающие. При этом при бесконечно малом приращении значения аргумента на [0;1], начиная от точки 0, уменьшаемая функция получит меньшее приращение, чем вычитаемая функция при таком же приращении аргумента. В силу этого разность 
на отрезке на [0;1] будет убывать от точки к точке (в противном случае равенство значений названных функций не будет достигнуто при 
Коли монотонно убывает на [0;1], то она будет монотонно убывать и на 
На заключительном этапе исследования задачи найдем решение неравенства 
относительно а.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Заметим, что левая часть заданного уравнения имеет смысл только при 
Пусть 
Тогда задача будет переформулирована так: найти все значения а, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение, принадлежащее отрезку 
Заметим также, что уравнение (1) имеет вид: 
Коли это так, то заменим его более простым уравнением
доказав равносильность уравнений (1) и (2) на 
и 
где — множество разрешенных значений t в уравнении (1), 
— множество разрешенных значений t в уравнении (2). 
.
Если уравнение (2) имеет решение 
то будет выполнено равенство 
Тогда уравнение (1) обратится в равенство Следовательно, любое решение уравнения (2) также является решением уравнения (1).
Для полноты наших суждений докажем еще одно утверждение: если некоторое, число 
отличное от таково, что 
и не является решением уравнения (2), то оно также не будет являться решением уравнения (1).
Такое возможно лишь в двух случаях: либо при
либо при 
Пусть 
Тогда 
аналогично, если 
то 
Значит, число 
при 
корнем уравнения (1) не является.
Из сказанного следует, что множество корней уравнений (1) и (2) полностью совпадают, т. е. уравнения (1) и (2) являются равносильными.
Следовательно, мы вправе еще раз переформулировать задачу: найдите все значения параметра а, при которых уравнение 
имеет хотя бы одно решение на промежутке
Рассмотрим смешанную систему 
Ясно, что параметр а, будучи непрерывной функцией от t, достигает наименьшего значения при 
А наибольшее его значение равно нулю. Параметр принимает все значения из промежутка 
где 
Замечания:
1. Здесь доказательство того, что уравнения (1) и (2) равносильны, является обязательным, так как уравнения 
и 
вообще говоря, не обязаны быть равносильными.
2. Покажем сказанное в п.1 замечаний на конкретном примере. Предположим, что произведена аналогичная замена уравнения 
на уравнение 
Числа 
и 
являются корнями уравнения 
тогда как эти числа корнями уравнения 
не являются. А этого достаточно для того чтоб считать названные два уравнения неравносильными.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
При 
уравнение примет вид: 
Покажем, что правая часть последнего уравнения отрицательна. Действительно, 
(неравенство очевидное). Следовательно, среди искомых значений а числа 0 нет.
Приведем заданное уравнение к виду 
Рассмотрим функции:
и 
Функция квадратичная, поскольку 
Вычислим четверть дискриминанта квадратного трехчлена:
Итак, старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, четверть дискриминанта равна нулю, значит, функция обращается в нуль при единственном значении х, а при остальных же значениях х 
Теперь рассмотрим функцию Ясно, что эта функция обращается в нуль при 
при других же значениях x, т. е. при 
Для того чтобы заданное уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы равенство 
выполнялось хотя бы при одном значении x. Таким значением будет число 2. И оно единственное. Искомое значение а будет обнаружено, если решить уравнение 
относительно а:
Дополнительное пояснение. Геометрическая интерпретация ситуации как-то выглядит так:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет единственное решение.
Сделаем замену 
Уравнение примет вид 
число корней при этом не изменится. Сразу заметим, что при 
есть корни 
и 
поэтому не подходит. При других a не является корнем. Теперь уравнение распадается на два случая.
при положительных t и 
при отрицательных t.
Если 
то у первого уравнения отрицательный свободный член и положительный старший коэффициент. Значит, у него есть два корня разных знаков, ровно один из них положительный. При этом у второго уравнения дискриминант 
корни есть, их сумма 
произведение 
значит, они оба положительны, и нам не подходят. Итак, есть ровно один корень.
Если 
то у второго уравнения отрицательный свободный член и положительный старший коэффициент. Значит, у него есть два корня разных знаков, ровно один из них отрицательный. При этом у первого уравнения дискриминант 
Если у него есть корни, их сумма 2a, произведение 
значит, они одного знака — того же, что и число a. Поэтому все 
нам подходят (если даже есть корни, то они отрицательны), а из 
подходят лишь те, для которых 
то есть 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все целые значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет решения.
Вариант 1.
Преобразуем заданное уравнение.
С учетом ограниченности функции косинус и в соответствии с условием задачи будем иметь:
Искомыми целочисленными значениями параметра a будут числа: 
Ответ: {−2; −1; 0; 1; 2}.
Вариант 2.
Преобразуем заданное уравнение.
Введем новую переменную. Пусть 
Тогда 
В таком случае заданное уравнение не будет иметь решения, если будут выполнены условия: 
или 
Рассмотрим квадратичную функцию 
В нашем случае достаточным условием отсутствия решений заданного уравнения является или 
(
), или одновременное выполнение трех условий : 
Для нахождения интересующих нас значений a, удовлетворяющих этим трем условиям, решим систему неравенств:
Ясно, что заданное уравнение будет иметь хотя бы одно решение, при всех значениях а, удовлетворяющих условию
Искомыми значениями a будут: -2; -1; 0; 1; 2.
Ответ: {-2; -1; 0; 1; 2}.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение . | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх