Преобразуем неравенство:

Таким образом, просто нужно чтобы a было больше наибольшего значения функции Оно, очевидно, достигается при , то есть при , поскольку и оба равенства достигаются в указанных точках.

Ответ:

Введем декартову систему координат xOp.

1. Будем искать множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношениям и (рис.1).

Для этого:

Построим график уравнения — параболу. Эта парабола делит плоскость на две области.

Соотношению удовлетворяют координаты всех точек той области, которая содержит точку (1; 0), так как

Построим график уравнения — прямую, которая разбивает плоскость на две полуплоскости. Соотношению будут удовлетворять все точки полуплоскости, в которой лежит точка (0; 0), поскольку

Найдем общие точки (пересечение) найденных областей.

2. Аналогично найдем пересечение областей, состоящих из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношениям и (Рис.2).

3. Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2 решения, найдем область , состоящую из всех точек, координаты которых удовлетворяют соотношению Одновременно исключим из полученных результатов полосу, задаваемую неравенством т. е. соотношением (Рис.3).

Для полноты решения уточним:

ординаты точек пересечения параболы и прямой :

ординаты точек пересечения прямых и прямых и Таковыми будут числа: 3 и 1 соответственно. Кроме того, будем иметь в виду и то, что парабола проходит через начало координат.

Отсюда вывод: из полученных выше результатов подлежат исключению все точки, принадлежащие криволинейной фигуре, ограниченной слева прямой справа — прямой сверху — прямой снизу — параболой Эта криволинейная фигура сверху и снизу открыта, т. е. незамкнута. Каждая точка, принадлежащая указанной криволинейной фигуре , имеет ординату, принадлежащую промежутку (0; 3).

Следовательно, искомые значения параметра pзаполнят весь промежуток

Ответ:

Рассмотрим функцию

Для того чтобы заданное неравенство выполнялось для всех достаточно выполнения условия:

Решим систему неравенств.

Замечание:

В общем случае достаточное условие, упомянутое выше, выглядит так:

где k — коэффициент при старшем члене квадратного трехчлена. В нашем случае он (коэффициент) заведомо равен единице.

Ответ:

Будем рассматривать заданное неравенство как неравенство с двумя переменными. Преобразуем его левую часть:

Исследуем заданное неравенство для всех

Решим противоположную задачу: найдем значения х, при которых неравенство (*) не будет иметь ни одного решения, как только будет выполнено условие

Введем функцию Этот квадратный трехчлен относительно а будет неположительным, если одновременно будут выполняться условия: и

Теперь решим систему неравенств:

Второе неравенство решим методом интервалов и одновременно полученное решение пересечем с решением первого неравенства.

Получим результат:

Проведенные исследования приводят нас к выводу: значения х,, удовлетворяющие условию хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [-2; 1], есть элементы множества

Ответ:

Заменим на t и выясним, при каких t выполнено неравенство

При будет поэтому неравенство верно.

При будет поэтому неравенство верно.

При будет

так как оба множителя положительны.

При обе части равны нулю.

При левая часть положительна, а правая отрицательна, поскольку теперь

При левая часть не меньше а правая — не больше 2.

Итак, неравенство из условия равносильно просто неравенству

То есть нужно, чтобы было отрицательно на всем отрезке Поскольку график функции  — парабола ветвями вверх, то свое наибольшее значение функция принимает в одном из концов отрезка. Так что если значения ее в концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны.

Получаем систему:

Ответ:

Очевидно, что при это невозможно.

Если то подходит так как

В дальнейшем считаем, что

Рационализируем данное неравенство (потом еще надо будет учесть, что )

Рассмотрим теперь оставшиеся два случая.

1) Если Решая неравенство методом интервалов, получим Учитывая ОДЗ, получим

Нужные точки найдутся в этом множестве если

2) Если Решая неравенство методом интервалов, получим Учитывая ОДЗ, получим Нужные точки найдутся в этом множестве если

Ответ:

При имеем то есть Если это вообще невозможно. Кроме того, при имеем и возрастает при поэтому на данном промежутке нет решений неравенства.

Если же то все возможные целые x находятся в промежутке поскольку Мы говорим лишь о возможности, поскольку не сравнивали эти значения с границами промежутка. Несомненно, при некоторых a эти точки так и не попадут на нужные промежутки.

При имеем то есть Если это вообще невозможно. Кроме того, при имеем и убывает при поэтому на данном промежутке нет решений неравенства.

Если же то все возможные целые x находятся в промежутке поскольку

Итак, только целые числа от −7 до 3 возможно могут хоть при каких-то a (от −5,5 до 1 ) быть решениями данного неравенства. Выясним теперь про каждое из них, при каких a оно действительно решение.

Очевидно, это невозможно при допустимых a.

Очевидно, это невозможно при допустимых a.

Очевидно, это возможно только при

Решая это неравенство, находим

Решая это неравенство, находим

Решая это неравенство, находим

Очевидно, это возможно только при

Очевидно, это невозможно при положительных a, а при прочих a имеем что тоже невозможно.

Очевидно, это невозможно при допустимых a.

Очевидно, это невозможно при допустимых a.

Очевидно, это невозможно при допустимых a.

Из этой таблицы видно, что ни при каком a не будет более трех целых решений. Ровно три решения получаются при или

Ответ:

Сделаем замену причем все эти значения достигаются.

Ясно что иначе это неверно при

Столь же ясно, что при имеем поэтому все неположительные a подходят.

Если же то график представляет собой параболу ветвями вниз с вершиной при Поэтому функция возрастает при а потом начинает убывать. Это значит, что если неравенство нарушается в какой-то точке отрезка то оно нарушается либо при (если эта точка лежит на нужном отрезке), либо при или При неравенство выполнено.

откуда Тогда Поскольку также и во всех подходящих нам ситуациях точка лежит на отрезке [1; 3]. Проверим значение в ней.

Итак,

Ответ:

Преобразуем неравенство.

Дискриминант числителя равен поэтому числитель всегда имеет корни.

Разберем два случая.

1) является корнем числителя. То есть

Тогда решая неравенство методом интервалов, мы отметим точку (она будет выколота и в ней не будет меняться знак), и второй корень уравнения в числителе (он, очевидно, равен и в нем знак меняться будет). При больших x выражение очевидно положительно, поэтому нужно только, чтобы было неположительно. Это верно при и неверно при Итак, подходит

2) не является корнем числителя. Тогда решая неравенство методом интервалов, мы отметим точку и корни числителя (они есть). При больших x выражение очевидно положительно, поэтому нужно только, чтобы все отмеченные точки (в них происходит смена знака) были неположительны. Для этого нужно, чтобы сумма корней числителя была неположительна, а произведение корней числителя было неотрицательно. То есть что невозможно.

Ответ:

Данное неравенство равносильно

При получаем

откуда получаем, что отрезок имеет длину 1 и больше при

Ясно, что при можно взять просто

Пусть теперь Тогда

Ясно, что точки из двух разных промежутков отличаются друг от друга всегда не меньше чем на поэтому выбирать точки надо на одном отрезке. Очевидно, такие точки есть в том и только том случае, когда длина отрезка больше 1. Будем рассматривать первый отрезок, у второго длина такая же.

Ответ:

Требуется, чтобы при всех То есть чтобы на всем этом отрезке.

Очевидно, наименьшее значение выражение принимает при и это а наибольшее либо при либо при Очевидно, второе больше.

Итак, достаточно будет выполнения двух неравенств: и то есть

Ответ:

При любом допустимом значении будем иметь:

Последняя система неравенств выполнима при всех лишь в двух случаях:

1) Дискриминант квадратного трехчлена неположителен:

2) Дискриминант квадратного трехчлена положителен, но оба корня квадратного трехчлена удовлетворяют условию Однако это невозможно, так как а корни квадратного трехчлена симметричны относительно

А это значит, что меньший корень будет левее т.е. Таким образом,

Замечание: здесь абсцисса вершины параболы — графика квадратичной функции

Ответ:

Сделаем замену

Ясно, что при это верно.

Если же то график представляет собой параболу ветвями вниз с вершиной при Поэтому функция возрастает при а потом начинает убывать. Это значит, что если неравенство нарушается в какой-то точке отрезка то оно нарушается и в точке Итак, осталось потребовать, чтобы то есть или

Ответ:

Сделаем замену причем все эти значения достигаются.

Ясно, что иначе это неверно при

Столь же ясно, что при имеем

поэтому подходят.

Если же то график представляет собой параболу ветвями вниз с вершиной при Поэтому функция возрастает при а потом начинает убывать. Это значит, что если неравенство нарушается в какой-то точке отрезка то оно нарушается либо при (если эта точка лежит на нужном отрезке), либо при или

откуда

откуда Это более сильное условие, чем предыдущее.

Тогда

Это значит, что при интересующих нас a вершина параболы на отрезке не лежит, и подставлять ее не надо.

Ответ:

Неравенство равносильно системе

Если получим из системы откуда

Если же то поделим оба неравенства на получатся неравества относительно который может принимать любые значения. Обозначим его за t и получим, что при всех t должна выполняться система.

Значит, должны выполняться неравенства про старшие коэффициенты и дискриминанты (если старший коэффициент равен нулю у второго неравенства, оно действительно выполнено всегда. Если у третьего — оно нарушается, например, при t = 1).

Ответ:

Случай 1. Тогда требуется, чтобы при всех x выполнялось Значит, и откуда

Случай 2. Тогда требуется, чтобы при всех x выполнялось Значит,

Совмещая эти условия, получаем, что

Ответ:

Ясно что при неравенство обращается в равенство. Разберем два случая.

1)

Это неравенство выполняется при всех тогда и только тогда, когда оно выполняется при то есть когда

2)

Это неравенство выполняется при всех тогда и только тогда, когда оно выполняется при то есть когда

Ответ:

Обозначим Получим

Поскольку функция в левой части монотонно возрастает при неотрицательных t, у этого уравнения есть не более одного корня. Корень t = 2 легко угадывается.

Итак, нужно, чтобы уравнение имело единственный корень. Для этого нужно, чтобы Но при корней у исходного уравнения нет совсем (поскольку −2 не может быть основанием логарифма).

Ответ:

Заметим, что разность между числителем и знаменателем равна и совпадает по знаку с x. Поэтому при положительных x числитель должен быть положителен, а знаменатель отрицателен, при отрицательных x — наоборот. Заметим также, что поэтому и числитель, и знаменатель имеют по два корня разных знаков. Обозначая за корни числителя, а за корни знаменателя имеем и Итак, поэтому интересующая нас сумма длин интервалов есть просто

Ответ:

Очевидно, если x удовлетворяет этому неравенству, то и ему тоже удовлетворяет. Поэтому единственное решение возможно только если Кроме того, при должно выполняться равенство, иначе по непрерывности всех функций в уравнении рядом с будут и еще решения.

Получаем

Убедимся в единственности решения при

положительно и на него можно домножать.

Здесь левая часть не меньше трех, правая не больше трех. Равенство одновременно возможно лишь при

Ответ:

Преобразуем заданное неравенство так:

Заметим, что при любых значениях а и х.

Если то из неравенства будем иметь: заданное неравенство для всех х не выполняется. Таким образом, искомые значения параметра а, если они есть, могут быть только строго положительными.

Далее применим метод неопределенных коэффициентов. Представим левую часть заданного неравенства в виде произведения двух квадратных трехчленов.

Итак, имеем:

Поскольку a > 0,

Из первого уравнения последней системы имеем:

Тогда третье уравнение примет вид:

Но тогда:

Таким образом,

Очевидно, неравенство будет выполнено при всех значениях х, если одновременно будут выполнены два условия: дискриминанты каждого квадратного трехчлена, что в левой части последнего неравенства, будут неположительными.

Решим систему неравенств:

Замечание:

Преобразование левой части неравенства в произведение двух квадратных трехчленов возможно и так:

Прибавим к левой части неравенства и вычтем выражение

Далее будем иметь:

Ответ:

Введем новую переменную. Пусть Тогда заданное неравенство будет иметь вид:

Последнее неравенство не имеет ни одного решения в следующих трех случаях:

1) Дискриминант квадратного трехчлена (D) отрицателен.

2) D = 0,

3) оба корня квадратного трехчлена отрицательны (свободный член и второй коэффициент положительны).

Во всех остальных случаях исходное неравенство будет иметь хотя бы одно решение.

Рассмотрим каждый из перечисленных случаев.

1)

2)

3)

Таким образом, исходное неравенство не имеет ни единого решения при А это значит, что при всех значениях будет иметь хотя бы одно решение.

Замечание: при рассмотрении третьего случая можно использовать и расположение корней квадратного трехчлена. Здесь случай, когда оба корня меньше данного числа т. е. число 0 лежит правее большего корня.

Однако, в этом особой надобности нет, поскольку нас интересуют лишь знаки корней квадратного трехчлена Поэтому нам достаточно использовать следствие из теоремы Виета.

Ответ:

Найдем значения параметра а, при каждом из которых для каждого значения будет выполнено равенство

Введем новую переменную. Пусть Тогда Поскольку рассматриваемый промежуток для t будет

Поскольку логарифмическая функция в данном случае является строго возрастающей, множество значений будет отображаться на множество значений, принимаемых переменной t, а исследуемый промежуток — на промежуток

Наша задача на данном этапе будет такой: найти значения параметра а, при каждом из которых для каждого значения будет выполнено равенство

Заметим:

старший коэффициент квадратного трехчлена равен 1, т. е. положителен; ограничений на значения а нет; при любом значении параметра, значит, имеет два различных действительных корня при любом значении а; свободный член квадратного трехчлена отрицателен, что в свою очередь означает: корни квадратного трехчлена имеют разные знаки, очевидно, что меньший корень заведомо отрицателен, тогда как больший корень заведомо положителен.

Вычислим и

В соответствии с тем, что сказано выше, должна выполняться система:

Итак, при значениях а, удовлетворяющих неравенству для каждого будет выполнено равенство

В таком случае значениями а, удовлетворяющими условию исходной задачи, будут те значения параметра а, которые удовлетворяют совокупности неравенств:

Ответ:

Для того, чтобы пара чисел была решением неравенства, необходимо и достаточно, чтобы одно из выражений в скобках было положительно, а второе отрицательно. Выясним, когда так происходит.

Выражение в первой скобке отрицательно в точках и положительно во всех остальных точках.

Разберем несколько случаев.

Выражение во второй скобке положительно в точках что дает уже 8 решений.

Выражение во второй скобке неположительно только в точках поэтому имеется ровно 4 решения

Выражение во второй скобке неположительно только в точках решений нет.

Выражение во второй скобке неположительно только в точках

Выражение во второй скобке отрицательно только в точках.

поэтому имеется ровно 4 решения

Выражение во второй скобке отрицательно в точках что дает уже 8 решений.

Ответ:

Примечание. С геометрической точки зрения мы ищем целые точки в некотором кольце с центром в начале координат.

Если то

В остальных случаях это квадратное неравенство.

Если то годятся все x, кроме лежащих на промежутке между его корнями (если такие есть). Они есть, всегда можно разложить на множители —

При ответ

При ответ

Если то годятся все x, лежащие между его корнями. Очевидно, поэтому ответ

При ответ

При ответ

При ответ

При ответ

Ясно что при неравенство обращается в равенство.

Если поделим на Получим при всех Очевидно, для этого нужно, чтобы то есть

Если поделим на Получим при всех Очевидно, для этого нужно, чтобы то есть

Ответ:

Разберем два случая.

1) Тогда неравенство принимает вид то есть

Если то решений нет.

Если то единственное решение и оно подходит в условие

Если то единственное целое решение и оно подходит.

Если то есть три подходящих целых решения

Если то есть два подходящих целых решения Если то есть одно подходящее целое решение

Если то подходящих целых решений нет.

Если то единственное подходящее решение

Если же то и решений нет.

2) Тогда неравенство принимает вид то есть

Если то решений нет.

Если то единственное целое решение и оно не подходит в условие

Если то поэтому есть целые решения из которых подходит только

Если то подходящих решений нет.

Если то поэтому есть целые решения из которых подходит только при

Если то есть целые решения но они все не подходят.

Наконец, при имеем при поэтому решений нет.

Осталось отобрать те значения a, при которых в сумме в двух случаях ровно одно решение. Это будут

Ответ: при при при

Рассмотрим задачу на промежутках:

Введем функцию

При :

Абсцисса вершины параболы

При :

Абсцисса вершины параболы Названные вершины совпадут при

1. Пусть Искомые значения а при найдем из условия:

Если обозначить выражение буквой то далее будем иметь: Тогда система

примет вид:

То есть

2. При аналогичными рассуждениями получим То есть

3а) Искомые значения а при найдем из условия:

3б) А искомые значения а при найдем из условия:

Теперь объединим полученные результаты.

Ответ:

Введем новую переменную. Пусть Тогда задачу можно будет переформулировать так: найдите все значения а, при каждом из которых неравенство выполняется для любых

Поскольку в нашем случае

Введем функцию Она (функция) квадратичная, график ее — парабола с ветвями, направленными вверх. Для того чтобы корни этого квадратного трехчлена были расположены между числами 1 и необходимо и достаточно выполнения условия:

Ответ:

Отметим, что и при и при Кроме того, при это выражение меньше единицы, а при  — больше единицы. Разберем два случая.

1) Неравенство тогда равносильно при условии

При это дает при это дает или

2) Неравенство тогда равносильно при условии

Поэтому

Ответ: При

ОДЗ неравенства Заметим, что является решением этого неравенства, а при всех прочих x неравенство можно сократить на положительное число Получим

Поскольку обе функции (в правой и левой частях) непрерывны на отрезке множество решений неравенства представляет собой объединение нескольких отрезков и точек. Поскольку мы хотим после объединения с точкой получить ровно один отрезок длиной 0,5, то и до объединения есть ровно один отрезок длиной 0,5, содержащий точку Возможны два случая.

Случай 1. Множество решений — отрезок Тогда точка является корнем уравнения Нетрудно видеть, что этого не происходит ни при каком a.

Случай 2. Множество решений — отрезок вида где числа t, являются корнями уравнения Получаем систему

Вычитая уравнения, находим

Приведём другое решение.

ОДЗ неравенства — отрезок

Перепишем неравенство в виде

Функция в левой части непрерывна. Поэтому множество решений неравенства - объединение нескольких отрезков и точек (точки и концы отрезка - корни функции). Нам нужно, чтобы это множество было одним отрезком длины Заметим, что множество решений неравенства отличается от нашего только (возможно) наличием точки Это означает, что точка и так входит в множество решений неравенства (иначе получится изолированная точка среди решений исходного неравенства).

Решим теперь уравнение Преобразуя его, получаем Корни этого уравнения равны (всегда корень) и (возможно, посторонний корень). Поэтому множество решений неравенства должно быть отрезком от одной из точек до другой и содержать точку Значит, точка на самом деле подходить не должна. Поскольку один из концов отрезка должен совпадать с числом или а длина отрезка равна возможен только вариант, когда это отрезок

При имеем Докажем, что такие подходят.

При имеем неравенство именно с таким множеством решений.

Заметим, что поэтому корень был посторонним и на всем промежутке нет других корней функции и поэтому неравенство выполнено на всем промежутке

При функция возрастает, а функция убывает. Поскольку в точке значения функций равны, до этой точки неравенство не выполнялось.

Ответ:

Сделаем замену (это не повлияет на число решений). Получим

Очевидно, график правой части представляет собой бесконечную ломаную из не более чем четырех звеньев (есть три точки, где возможно функция резко меняет поведение — , причем — средняя точка), поэтому ровно два решения может быть только если крайние точки смены поведения дают значение , а остальные — больше

Подставим , получим , , Докажем, что такие значения действительно подходят. Подставляя их в неравенство, получим

При неравенство сведется к — нет решений.

При неравенство сведется к — нет решений.

При неравенство сведется к — решения только

Ответ:

Очевидно поскольку иначе при неравенство неопределено. Аналогично так как иначе нельзя взять Далее, поскольку должно быть положительно на всем промежутке,

При таких a неравенство определено на всем промежутке. Рационализируем его:

Если a отрицательно, то все выражения в скобках положительны на всем промежутке (последнее — поскольку ), поэтому такие a подходят. При тоже все в порядке. Пусть теперь a положительно. Получим

Очевидно, корни числителя и знаменателя различны, Множество решений неравенства — промежуток поэтому нужно, чтобы то есть Учитывая ограничения из ОДЗ, получаем ответ

Ответ:

Возьмем производную функции и разберем несколько случаев,

При производная положительна на и отрицательна на поэтому наибольшее значение достигается при и равно 0.

При производная положительна на и отрицательна на поэтому наибольшее значение достигается при и равно 0.

При производная положительна на , отрицательна на положительна на поэтому наибольшее значение достигается при или при то есть равно 0 или (второе больше при

При производная неотрицательна на всем отрезке, поэтому наибольшее значение достигается при и равно 8.

При производная положительна на отрицательна на положительна на поэтому наибольшее значение достигается при или при то есть равно или (второе больше, так как оно больше восьми, а первое меньше четырех).

При производная отрицательна на и положительна на поэтому наибольшее значение достигается при и равно 20 или 4 — значит, 20.

При производная отрицательна на и положительна на поэтому наибольшее значение достигается при и равно Очевидно, надо выбирать

Ответ: При получаем при получаем 0.

Исходное уравнение равносильно уравнению

Заметим также, что

каждому значению (то есть ) соответствует два различных значения переменной

каждому значению () − четыре различных значения переменной

а значению () − три различных значения переменной

Таким образом, исходное уравнение будет иметь ровно четыре различных корня в двух случаях:

1) если квадратное уравнение имеет единственный корень меньший 2;

2) если квадратное уравнение имеет два корня большие 2.

Рассмотрим первый случай.

Для квадратного уравнения имеем . Значит квадратное уравнение имеет единственный корень при или .

При получаем, что , что не подходит. (Исходное уравнение имеет два корня)

При получаем, что , что подходит. (Исходное уравнение имеет четыре корня)

Рассмотрим второй случай.

Для того, чтобы два корня квадратного уравнения были больше 2 достаточно выполнения следующих условий

Исходное уравнение имеет ровно четыре различных корня при или при

Ответ:

Заметим, что при любом раскрытии модулей в выражении получается линейная функция с отрицательным коэффициентом при Поэтому — убывающая функция и необходимо следить только за значением

При имеем

При имеем

Откуда

Ответ:

Запишем неравенство в виде Сразу отметим, что при замене на неравенство не меняется. Поэтому будем считать, что Теперь разберем случаи.

Тогда там пять целых точек.

Тогда там четыре целые точки —

Тогда там четыре целые точки —

Тогда Нетрудно видеть, что при целых там по целых точки, а при нецелых — по три.

Тогда там четыре целые точки —

Тогда там четыре целые точки —

При целых точек становится минимум

Ответ

Обозначим тогда неравенство примет вид

принимает любые положительные значения. Если это неравенство выполнено при каком-то и то можно немного увеличить и получить другое решение. Значит, поэтому При меньших можно взять для положительных и для отрицательных и получить решение, для которого

Итак, ответ

Ответ:

Преобразуем неравенство

Если имеет корни на промежутке то в этом корне получаем что верно. Поскольку принимает на данном промежутке значения в промежутке нам нужно, чтобы то есть

Если же оно корней не имеет, то его знак постоянный (при положительно, при отрицательно) и на эту скобку можно сократить.

При имеем Правая часть принимает значения на промежутке поэтому неравенство имеет решения при

При имеем это не может быть верно, правая часть не меньше а левая — не больше.

Ответ: