Преобразуем неравенство:

Таким образом, просто нужно чтобы a было больше наибольшего значения функции Оно, очевидно, достигается при , то есть при , поскольку и оба равенства достигаются в указанных точках.

Ответ:

##

Введем декартову систему координат xOp.

1. Будем искать множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношениям и (рис.1).

Для этого:

Построим график уравнения — параболу. Эта парабола делит плоскость на две области.

Соотношению удовлетворяют координаты всех точек той области, которая содержит точку (1; 0), так как

Построим график уравнения — прямую, которая разбивает плоскость на две полуплоскости. Соотношению будут удовлетворять все точки полуплоскости, в которой лежит точка (0; 0), поскольку

Найдем общие точки (пересечение) найденных областей.

2. Аналогично найдем пересечение областей, состоящих из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношениям и (Рис.2).

3. Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2 решения, найдем область , состоящую из всех точек, координаты которых удовлетворяют соотношению Одновременно исключим из полученных результатов полосу, задаваемую неравенством т. е. соотношением (Рис.3).

Для полноты решения уточним:

ординаты точек пересечения параболы и прямой :

ординаты точек пересечения прямых и прямых и Таковыми будут числа: 3 и 1 соответственно. Кроме того, будем иметь в виду и то, что парабола проходит через начало координат.

Отсюда вывод: из полученных выше результатов подлежат исключению все точки, принадлежащие криволинейной фигуре, ограниченной слева прямой справа — прямой сверху — прямой снизу — параболой Эта криволинейная фигура сверху и снизу открыта, т. е. незамкнута. Каждая точка, принадлежащая указанной криволинейной фигуре , имеет ординату, принадлежащую промежутку (0; 3).

Следовательно, искомые значения параметра pзаполнят весь промежуток

Ответ:

Рассмотрим функцию

Для того чтобы заданное неравенство выполнялось для всех достаточно выполнения условия:

Решим систему неравенств.

Замечание:

В общем случае достаточное условие, упомянутое выше, выглядит так:

где k — коэффициент при старшем члене квадратного трехчлена. В нашем случае он (коэффициент) заведомо равен единице.

Ответ:

Будем рассматривать заданное неравенство как неравенство с двумя переменными. Преобразуем его левую часть:

Исследуем заданное неравенство для всех

Решим противоположную задачу: найдем значения х, при которых неравенство (*) не будет иметь ни одного решения, как только будет выполнено условие

Введем функцию Этот квадратный трехчлен относительно а будет неположительным, если одновременно будут выполняться условия: и

Теперь решим систему неравенств:

Второе неравенство решим методом интервалов и одновременно полученное решение пересечем с решением первого неравенства.

Получим результат:

Проведенные исследования приводят нас к выводу: значения х,, удовлетворяющие условию хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [-2; 1], есть элементы множества

Ответ:

Заменим на t и выясним, при каких t выполнено неравенство

При будет поэтому неравенство верно.

При будет поэтому неравенство верно.

При будет

так как оба множителя положительны.

При обе части равны нулю.

При левая часть положительна, а правая отрицательна, поскольку теперь

При левая часть не меньше а правая — не больше 2.

Итак, неравенство из условия равносильно просто неравенству

То есть нужно, чтобы было отрицательно на всем отрезке Поскольку график функции  — парабола ветвями вверх, то свое наибольшее значение функция принимает в одном из концов отрезка. Так что если значения ее в концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны.

Получаем систему:

Ответ: