Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 505698

Найдите все значения х, удовлетворяющие неравенству  левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в кубе минус левая круглая скобка 1 плюс 2a правая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс 4a минус 5 правая круглая скобка больше 0 хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [-2; 1].

Спрятать решение

Решение.

Будем рассматривать заданное неравенство как неравенство с двумя переменными. Преобразуем его левую часть:

 левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в кубе минус левая круглая скобка 1 плюс 2a правая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс 4a минус 5 правая круглая скобка больше 0 равносильно ax в кубе плюс 2x в кубе минус x в квадрате минус 2ax в квадрате минус 6x плюс a в квадрате плюс 4a минус 5 больше 0 равносильно

 равносильно a в квадрате плюс a левая круглая скобка x в кубе минус 2x в квадрате плюс 4 правая круглая скобка плюс 2x в кубе минус x в квадрате минус 6x минус 5 больше 0. левая круглая скобка в степени * правая круглая скобка

Исследуем заданное неравенство для всех a принадлежит левая квадратная скобка минус 2;1 правая квадратная скобка .

Решим противоположную задачу: найдем значения х, при которых неравенство (*) не будет иметь ни одного решения, как только будет выполнено условие a принадлежит левая квадратная скобка минус 2;1 правая квадратная скобка .

Введем функцию f левая круглая скобка a правая круглая скобка =a в квадрате плюс a левая круглая скобка x в кубе минус 2x в квадрате плюс 4 правая круглая скобка плюс 2x в кубе минус x в квадрате минус 6x минус 5. Этот квадратный трехчлен относительно а будет неположительным, если одновременно будут выполняться условия: f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 и f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка меньше или равно 0.

f левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка =4 минус 2x в кубе плюс 4x в квадрате минус 8 плюс 2x в кубе минус x в квадрате минус 6x минус 5=3x в квадрате минус 6x минус 9;

f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =1 плюс x в кубе минус 2x в квадрате плюс 4 плюс 2x в кубе минус x в квадрате минус 6x минус 5=3x в кубе минус 3x в квадрате минус 6x.

Теперь решим систему неравенств:

 система выражений  новая строка 3x в квадрате минус 6x минус 9 меньше или равно 0 , новая строка 3x в кубе минус 3x в квадрате минус 6x меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x в квадрате минус 2x минус 3 меньше или равно 0 , новая строка x умножить на левая круглая скобка x в квадрате минус x минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка минус 1 меньше или равно x меньше или равно 3 , новая строка x умножить на левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0. конец системы .

Второе неравенство решим методом интервалов и одновременно полученное решение пересечем с решением первого неравенства.

Получим результат:  совокупность выражений x = минус 1 ,0 меньше или равно x меньше или равно 2. конец совокупности .

Проведенные исследования приводят нас к выводу: значения х,, удовлетворяющие условию  левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка x в кубе минус левая круглая скобка 1 плюс 2a правая круглая скобка x в квадрате минус 6x плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс 4a минус 5 правая круглая скобка больше 0 хотя бы при одном значении а, принадлежащем отрезку [-2; 1], есть элементы множества  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

ИЛИ

установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 57.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром