Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 505698
i

Най­ди­те все зна­че­ния х, удо­вле­тво­ря­ю­щие не­ра­вен­ству левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в кубе минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2a пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 4a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 хотя бы при одном зна­че­нии а, при­над­ле­жа­щем от­рез­ку [-2; 1].

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Будем рас­смат­ри­вать за­дан­ное не­ра­вен­ство как не­ра­вен­ство с двумя пе­ре­мен­ны­ми. Пре­об­ра­зу­ем его левую часть:

левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в кубе минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2a пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 4a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 рав­но­силь­но ax в кубе плюс 2x в кубе минус x в квад­ра­те минус 2ax в квад­ра­те минус 6x плюс a в квад­ра­те плюс 4a минус 5 боль­ше 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс a левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 2x в квад­ра­те плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2x в кубе минус x в квад­ра­те минус 6x минус 5 боль­ше 0. левая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни * пра­вая круг­лая скоб­ка

Ис­сле­ду­ем за­дан­ное не­ра­вен­ство для всех a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Решим про­ти­во­по­лож­ную за­да­чу: най­дем зна­че­ния х, при ко­то­рых не­ра­вен­ство (*) не будет иметь ни од­но­го ре­ше­ния, как толь­ко будет вы­пол­не­но усло­вие a при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2;1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Вве­дем функ­цию f левая круг­лая скоб­ка a пра­вая круг­лая скоб­ка =a в квад­ра­те плюс a левая круг­лая скоб­ка x в кубе минус 2x в квад­ра­те плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2x в кубе минус x в квад­ра­те минус 6x минус 5. Этот квад­рат­ный трех­член от­но­си­тель­но а будет не­по­ло­жи­тель­ным, если од­но­вре­мен­но будут вы­пол­нять­ся усло­вия: f левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 и f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0.

f левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =4 минус 2x в кубе плюс 4x в квад­ра­те минус 8 плюс 2x в кубе минус x в квад­ра­те минус 6x минус 5=3x в квад­ра­те минус 6x минус 9;

f левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =1 плюс x в кубе минус 2x в квад­ра­те плюс 4 плюс 2x в кубе минус x в квад­ра­те минус 6x минус 5=3x в кубе минус 3x в квад­ра­те минус 6x.

Те­перь решим си­сте­му не­ра­венств:

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 3x в квад­ра­те минус 6x минус 9 мень­ше или равно 0 , новая стро­ка 3x в кубе минус 3x в квад­ра­те минус 6x мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x в квад­ра­те минус 2x минус 3 мень­ше или равно 0 , новая стро­ка x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка минус 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 3 , новая стро­ка x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0. конец си­сте­мы .

Вто­рое не­ра­вен­ство решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов и од­но­вре­мен­но по­лу­чен­ное ре­ше­ние пе­ре­се­чем с ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства.

По­лу­чим ре­зуль­тат: со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус 1 ,0 мень­ше или равно x мень­ше или равно 2. конец со­во­куп­но­сти .

Про­ве­ден­ные ис­сле­до­ва­ния при­во­дят нас к вы­во­ду: зна­че­ния х,, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию левая круг­лая скоб­ка a плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x в кубе минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2a пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 6x плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс 4a минус 5 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0 хотя бы при одном зна­че­нии а, при­над­ле­жа­щем от­рез­ку [-2; 1], есть эле­мен­ты мно­же­ства левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 57
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025