Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 505740

Найти все значения параметра p, для которых неравенство  логарифм по основанию левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка меньше 2 выполняется хотя бы для одного числа x такого, что | x | < 0,01.

Спрятать решение

Решение.

Очевидно, что при p=0 это невозможно.

Если p меньше или равно минус 1, то подходит x=0,001, так как  логарифм по основанию левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка x в квадрате меньше 0.

В дальнейшем считаем, что p больше минус 1.

Рационализируем данное неравенство (потом еще надо будет учесть, что x минус p больше 0)

 дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка конец дроби минус 2 меньше 0,  дробь: числитель: логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби меньше 0,

 дробь: числитель: x в квадрате минус левая круглая скобка x минус p правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x минус p минус 1 конец дроби меньше 0,  дробь: числитель: p левая круглая скобка 2x минус p правая круглая скобка , знаменатель: x минус p минус 1 конец дроби меньше 0.

Рассмотрим теперь оставшиеся два случая.

1) Если p принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка . Решая неравенство методом интервалов, получим x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; дробь: числитель: p, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка p плюс 1; бесконечность правая круглая скобка . Учитывая ОДЗ, получим x принадлежит левая круглая скобка p; дробь: числитель: p, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка p плюс 1; бесконечность правая круглая скобка .

Нужные точки найдутся в этом множестве если p принадлежит левая круглая скобка минус 1; минус 0,99 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 0,02;0 правая круглая скобка .

2) Если p больше 0. Решая неравенство методом интервалов, получим x принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: p, знаменатель: 2 конец дроби ;p плюс 1 правая круглая скобка . Учитывая ОДЗ, получим x принадлежит левая круглая скобка p;p плюс 1 правая круглая скобка . Нужные точки найдутся в этом множестве если p принадлежит левая круглая скобка 0;0.01 правая круглая скобка .

 

Ответ: p принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 0.99 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 0.02;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;0.01 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

ИЛИ

установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 64.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром