Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 505740
i

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра p, для ко­то­рых не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 2 вы­пол­ня­ет­ся хотя бы для од­но­го числа x та­ко­го, что | x | < 0,01.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но, что при p=0 это не­воз­мож­но.

Если p мень­ше или равно минус 1, то под­хо­дит x=0,001, так как ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те мень­ше 0.

В даль­ней­шем счи­та­ем, что p боль­ше минус 1.

Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем дан­ное не­ра­вен­ство (потом еще надо будет учесть, что x минус p боль­ше 0)

дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби минус 2 мень­ше 0, дробь: чис­ли­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 x в квад­ра­те минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 1 конец дроби мень­ше 0,

дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: x минус p минус 1 конец дроби мень­ше 0, дробь: чис­ли­тель: p левая круг­лая скоб­ка 2x минус p пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: x минус p минус 1 конец дроби мень­ше 0.

Рас­смот­рим те­перь остав­ши­е­ся два слу­чая.

1)  Если p при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка . Решая не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка p плюс 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка . Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­чим x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка p; дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка p плюс 1; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Нуж­ные точки най­дут­ся в этом мно­же­стве если p при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1; минус 0,99 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 0,02;0 пра­вая круг­лая скоб­ка .

2)  Если p боль­ше 0. Решая не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, по­лу­чим x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: p, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;p плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Учи­ты­вая ОДЗ, по­лу­чим x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка p;p плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка . Нуж­ные точки най­дут­ся в этом мно­же­стве если p при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0;0.01 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: p при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 0.99 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 0.02;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0;0.01 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 64
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025