Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 505656

Найти все значения параметра p, при каждом из которых множество решений неравенства  левая круглая скобка p минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс x минус 2 правая круглая скобка меньше 0 не содержит ни одного решения неравенства x в квадрате меньше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Перейдем к равносильной системе:

 левая круглая скобка p минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс x минус 2 правая круглая скобка меньше 0 равносильно совокупность выражений система выражений p минус x в квадрате больше 0 ,p плюс x минус 2 меньше 0 , конец системы . система выражений p минус x в квадрате меньше 0,p плюс x минус 2 больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений p больше x в квадрате ,p меньше минус x плюс 2 , конец системы . система выражений p меньше x в квадрате ,p больше минус x плюс 2. конец системы . конец совокупности .

Введем декартову систему координат xOp. Изобразим множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношениям p больше x в квадрате и p меньше минус x плюс 2 (рис.1). Для этого построим график уравнения p=x в квадрате  — параболу. Эта парабола делит плоскость на две области. Соотношению p больше x в квадрате удовлетворяют координаты всех точек той области, которая содержит точку (1; 0), так как 1 больше 0. Далее, построим график уравнения p= минус x плюс 2 — прямую, которая разбивает плоскость на две полуплоскости. Соотношению p меньше минус x плюс 2 будут удовлетворять все точки полуплоскости, в которой лежит точка (0; 0), поскольку 0 меньше 2. Выделим общие точки (пересечение) найденных областей (см. рис. 1).

Аналогично найдем пересечение областей, состоящих из всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют соотношениям p меньше x в квадрате и p больше минус x плюс 2. (см. рис. 2).

Объединяя результаты, полученные выше, найдем область, состоящую из всех точек, координаты которых удовлетворяют соотношению  левая круглая скобка p минус x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка p плюс x минус 2 правая круглая скобка меньше 0. Одновременно исключим из полученных результатов полосу, задаваемую неравенством | x | меньше или равно 1, т. е. соотношением  минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1 (см. рис. 3).

Найдем координаты точек пересечения параболы p=x в квадрате и прямой p= минус x плюс 2:

 система выражений  новая строка p=x в квадрате , новая строка p= минус x плюс 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x в квадрате = минус x плюс 2 , новая строка p= минус x плюс 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x в квадрате плюс x минус 2=0 , новая строка p= минус x плюс 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка совокупность выражений x = минус 2,x = 1, конец системы .  новая строка p= минус x плюс 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x= минус 2,p=4, конец системы . система выражений x=1,p=1. конец системы . конец совокупности .

Ординаты точек пересечения прямых x= минус 1 и p= минус x плюс 2, прямых x=1 и p= минус x плюс 2 суть 3 и 1 соответственно.

Из полученных выше результатов подлежат исключению все точки, принадлежащие криволинейной фигуре, ограниченной слева прямой p= минус 1, справа — прямой x=1, сверху — прямой p= минус x плюс 2, снизу — параболой p=x в квадрате , все граничные точки не включены. Каждая точка, принадлежащая указанной фигуре, имеет ординату, принадлежащую интервалу (0; 3). Следовательно, искомые значения параметра p заполнят весь промежуток  левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

ИЛИ

установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром