Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 505656
i

Найти все зна­че­ния па­ра­мет­ра p, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства  левая круг­лая скоб­ка p минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 не со­дер­жит ни од­но­го ре­ше­ния не­ра­вен­ства x в квад­ра­те мень­ше или равно 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к рав­но­силь­ной си­сте­ме:

 левая круг­лая скоб­ка p минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний p минус x в квад­ра­те боль­ше 0 ,p плюс x минус 2 мень­ше 0 , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний p минус x в квад­ра­те мень­ше 0,p плюс x минус 2 боль­ше 0 конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний p боль­ше x в квад­ра­те ,p мень­ше минус x плюс 2 , конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний p мень­ше x в квад­ра­те ,p боль­ше минус x плюс 2. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Вве­дем де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат xOp. Изоб­ра­зим мно­же­ство точек плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­ни­ям p боль­ше x в квад­ра­те и p мень­ше минус x плюс 2 (рис. 1). Для этого по­стро­им гра­фик урав­не­ния p=x в квад­ра­те   — па­ра­бо­лу. Эта па­ра­бо­ла делит плос­кость на две об­ла­сти. Со­от­но­ше­нию p боль­ше x в квад­ра­те удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты всех точек той об­ла­сти, ко­то­рая со­дер­жит точку (1; 0), так как 1 боль­ше 0. Далее, по­стро­им гра­фик урав­не­ния p= минус x плюс 2  — пря­мую, ко­то­рая раз­би­ва­ет плос­кость на две по­лу­плос­ко­сти. Со­от­но­ше­нию p мень­ше минус x плюс 2 будут удо­вле­тво­рять все точки по­лу­плос­ко­сти, в ко­то­рой лежит точка (0; 0), по­сколь­ку 0 мень­ше 2. Вы­де­лим общие точки (пе­ре­се­че­ние) най­ден­ных об­ла­стей (см. рис. 1).

Ана­ло­гич­но най­дем пе­ре­се­че­ние об­ла­стей, со­сто­я­щих из всех точек плос­ко­сти, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­ни­ям p мень­ше x в квад­ра­те и p боль­ше минус x плюс 2. (см. рис. 2).

Объ­еди­няя ре­зуль­та­ты, по­лу­чен­ные выше, най­дем об­ласть, со­сто­я­щую из всех точек, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют со­от­но­ше­нию  левая круг­лая скоб­ка p минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p плюс x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0. Од­но­вре­мен­но ис­клю­чим из по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов по­ло­су, за­да­ва­е­мую не­ра­вен­ством | x | мень­ше или равно 1, т. е. со­от­но­ше­ни­ем  минус 1 мень­ше или равно x мень­ше или равно 1 (см. рис. 3).

Най­дем ко­ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния па­ра­бо­лы p=x в квад­ра­те и пря­мой p= минус x плюс 2:

 си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка p=x в квад­ра­те , новая стро­ка p= минус x плюс 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка x в квад­ра­те = минус x плюс 2 , новая стро­ка p= минус x плюс 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка x в квад­ра­те плюс x минус 2=0 , новая стро­ка p= минус x плюс 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний  новая стро­ка со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус 2,x = 1, конец си­сте­мы .  новая стро­ка p= минус x плюс 2 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний си­сте­ма вы­ра­же­ний x= минус 2,p=4, конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний x=1,p=1. конец си­сте­мы . конец со­во­куп­но­сти .

Ор­ди­на­ты точек пе­ре­се­че­ния пря­мых x= минус 1 и p= минус x плюс 2, пря­мых x=1 и p= минус x плюс 2 суть 3 и 1 со­от­вет­ствен­но.

Из по­лу­чен­ных выше ре­зуль­та­тов под­ле­жат ис­клю­че­нию все точки, при­над­ле­жа­щие кри­во­ли­ней­ной фи­гу­ре, огра­ни­чен­ной слева пря­мой p= минус 1, спра­ва  — пря­мой x=1, свер­ху  — пря­мой p= минус x плюс 2, снизу  — па­ра­бо­лой p=x в квад­ра­те , все гра­нич­ные точки не вклю­че­ны. Каж­дая точка, при­над­ле­жа­щая ука­зан­ной фи­гу­ре, имеет ор­ди­на­ту, при­над­ле­жа­щую ин­тер­ва­лу (0; 3). Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра p за­пол­нят весь про­ме­жу­ток  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a.2
Верно най­де­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a

ИЛИ

уста­нов­ле­но, что ис­ход­ное урав­не­ние при всех зна­че­ни­ях a имеет един­ствен­ное ре­ше­ние .

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 50
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром