а)  Сумма на­ту­раль­ных чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 8. Сле­до­ва­тель­но, чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, не более 8. Тогда в день n () за­пи­сан­ных чисел не более 1. И это число за­ве­до­мо боль­ше 8 (по­сколь­ку сумма чисел с каж­дым днем уве­ли­чи­ва­ет­ся). Про­ти­во­ре­чие с усло­ви­ем (все за­пи­сан­ные числа долж­ны быть мень­ше 6).

б)  Рас­смот­рим до­пу­сти­мую усло­ви­я­ми кон­фи­гу­ра­цию (без учета сред­не­го зна­че­ния за все дни):

Дей­стви­тель­но, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, оче­вид­но, мень­ше 4. В каж­дый по­сле­ду­ю­щий день чисел за­пи­са­но мень­ше, чем в преды­ду­щий. А также сумма чисел, за­пи­сан­ных в каж­дый по­сле­ду­ю­щий день, боль­ше, чем в преды­ду­щий. Оче­вид­но, что если про­дол­жать при­пи­сы­вать стол­бец (4 5 5) слева, то эти усло­вия не на­ру­шат­ся. Можно по­лу­чить, ска­жем, такой при­мер:

Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех этих чисел, оче­вид­но, боль­ше 4,5.

в)  Пред­по­ло­жим, что в по­след­ний (чет­вер­тый) день за­пи­са­но одно число. Тогда в пер­вый день за­пи­са­но не менее че­ты­рех чисел. Сле­до­ва­тель­но, в пер­вый день сумма чисел не мень­ше 4. А в чет­вер­тый, со­от­вет­ствен­но, сумма чисел не мень­ше 7. Но в чет­вер­тый день за­пи­са­но ровно одно число. Про­ти­во­ре­чие с тем, что мак­си­маль­ное воз­мож­ное число мень­ше 6.

Мы по­ка­за­ли, что в чет­вер­тый день за­пи­са­но как ми­ни­мум два числа. Тогда в тре­тий день за­пи­са­но как ми­ни­мум три числа, во вто­рой день как ми­ни­мум че­ты­ре числа, в пер­вый день как ми­ни­мум пять чисел. Всего на доске как ми­ни­мум че­тыр­на­дцать чисел. Такое, дей­стви­тель­но, может быть:

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  14.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

а)  В пер­вый день за­пи­са­но не более 8 чисел, по­это­му на вось­мой день (если он есть) будет за­пи­са­но не более од­но­го числа, при­чем оно долж­но быть боль­ше суммы чисел в пер­вый день, что не­воз­мож­но.

б)  Да, на­при­мер, если в пер­вый день за­пи­са­ны два­дцать чет­ве­рок и трой­ка, во вто­рой день  — во­сем­на­дцать пя­те­рок и две двой­ки, в тре­тий день  — де­вят­на­дцать пя­те­рок. Тогда сред­нее за пер­вый день со­ста­вит а за все дни

в)  Сумма чисел в пер­вый день не мень­ше 4, по­это­му в по­след­ний день не мень­ше Зна­чит, в по­след­ний день вы­пи­са­ны ми­ни­мум два числа, а всего ми­ни­мум чисел. Это воз­мож­но, на­при­мер, для таких на­бо­ров:

—  в пер­вый день 1, 1, 1, 1, 1;

—  во вто­рой день 1, 1, 2, 2;

—  в тре­тий день 1, 3, 3;

—  в чет­вер­тый день 3, 5.

а)  Пусть в день с но­ме­ром k за­пи­са­но к чисел 3 и 12 − 2k чисел 1. Тогда сумма чисел в этот день равна 12 + k. Таким об­ра­зом, n может быть рав­ным 6.

б)  Пусть n  =  4, в пер­вый день на доску за­пи­са­ли число 2 и две­на­дцать чисел 3, во вто­рой день  — две­на­дцать чисел 4, в тре­тий день  — шесть чисел 4 и пять чисел 5, а в четвёртый день  — де­сять чисел 5. Тогда сумма чисел в пер­вый день равна 38, во вто­рой  — 48, в тре­тий  — 49, а в четвёртый  — 50. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равно а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех за­пи­сан­ных чисел равно

в)  За­ме­тим, что в пер­вый день на доску было за­пи­са­но не более 6 чисел. Зна­чит, если n > 5, то в ше­стой день на доску было за­пи­са­но одно число. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку это число долж­но быть боль­ше суммы чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, рав­ной 6. Таким об­ра­зом,

Если n  =  5, то в пятый день на доску было за­пи­са­но не более двух чисел, а их сумма не пре­вос­хо­дит 10. Зна­чит, суммы чисел, за­пи­сан­ных в четвёртый, тре­тий и вто­рой дни, не пре­вос­хо­дят 9, 8 и 7 со­от­вет­ствен­но, а сумма всех за­пи­сан­ных чисел в этом слу­чае не пре­вос­хо­дит 40.

Если n  =  4, то в четвёртый день на доску было за­пи­са­но не более трёх чисел, а их сумма не пре­вос­хо­дит 15. Зна­чит, суммы чисел, за­пи­сан­ных в тре­тий и вто­рой дни, не пре­вос­хо­дят 14 и 13 со­от­вет­ствен­но, а сумма всех за­пи­сан­ных чисел в этом слу­чае не пре­вос­хо­дит 48.

Если n  =  3, то в тре­тий день на доску было за­пи­са­но не более четырёх чисел, а их сумма не пре­вос­хо­дит 20. Зна­чит, сумма чисел, за­пи­сан­ных во вто­рой день, не пре­вос­хо­дит 19, а сумма всех за­пи­сан­ных чисел в этом слу­чае не пре­вос­хо­дит 45.

Если n  =  2, то во вто­рой день на доску было за­пи­са­но не более пяти чисел, а их сумма не пре­вос­хо­дит 25. Зна­чит, сумма всех за­пи­сан­ных чисел в этом слу­чае не пре­вос­хо­дит 31.

Если n  =  1, то сумма всех за­пи­сан­ных чисел равна 6. Таким об­ра­зом, сумма всех за­пи­сан­ных чисел не пре­вос­хо­дит 48. По­ка­жем, что сумма всех за­пи­сан­ных чисел могла рав­нять­ся 48. Пусть n  =  4, и в пер­вый день быта за­пи­са­ны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1: во вто­рой  — 2, 2, 3, 3, 3: в тре­тий  — 3, 3, 4, 4; в четвёртый  — 5, 5, 5. Тогда суммы за­пи­сан­ных в эти дни чисел со­от­вет­ствен­но равны 6, 13, 14 и 15, то есть числа удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям за­да­чи, а их сумма равна 48.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  48.

а)  Сумма на­ту­раль­ных чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 7. Сле­до­ва­тель­но, чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, не более 7. Тогда в день n () за­пи­сан­ных чисел не более 1. И это число за­ве­до­мо боль­ше 7 (т. к. сумма чисел с каж­дым днем уве­ли­чи­ва­ет­ся). Про­ти­во­ре­чие с усло­ви­ем (все за­пи­сан­ные числа долж­ны быть мень­ше 6).

б)  Пусть в пер­вый день на доску за­пи­са­ли число 1 и шесть чисел 2, во вто­рой день  — шесть чисел 3, а в тре­тий день  — пять чисел 4. Тогда сумма чисел в пер­вый день равна 13, во вто­рой  — 18, а в тре­тий  — 20. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равно а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех за­пи­сан­ных чисел равно

в)  За­ме­тим, что в ше­стой день на доску было за­пи­са­но хотя бы одно число. Пред­по­ло­жим, что в ше­стой день на доску было за­пи­са­но не боль­ше двух чисел. Зна­чит, в пер­вый день на доску было за­пи­са­но не менее 6 чисел, и их сумма была не мень­ше 6. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку в ше­стой день сумма за­пи­сан­ных на доску чисел долж­на быть не мень­ше 11, а сумма двух чисел, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6, не может быть боль­ше 10.

Таким об­ра­зом, в ше­стой день на доску было за­пи­са­но хотя бы три числа. Сле­до­ва­тель­но, в пятый день было за­пи­са­но не менее четырёх чисел, в четвёртый день  — не менее пяти, в тре­тий  — не менее шести, во вто­рой  — не менее семи, а в пер­вый  — не менее вось­ми. Зна­чит, сум­мар­но чисел было не мень­ше 33.

По­ка­жем, что могло быть за­пи­са­но 33 числа, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи. Пусть в пер­вый день были за­пи­са­ны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; во вто­рой  — 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3; в тре­тий  — 1, 1, 1, 1, 3, 3; в четвёртый  — 1, 1, 3, 3, 3; в пятый  — 1, 1, 5, 5; в ше­стой  — 4, 4, 5. Тогда суммы за­пи­сан­ных за эти дни чисел со­от­вет­ствен­но равны 8, 9, 10, 11, 12 и 13, то есть числа удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) нет; б) да; в) 33.