PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Дано трехзначное натуральное число, не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Обозначим через s(n) сумму цифр натурального числа n. Трехзначное число n будем называть хорошим, если n делится на s(n).
а) Чему равно наибольшее возможное значение частного 
для хорошего числа?
б) Чему равно наименьшее возможное значение частного для хорошего числа?
в) Может ли для хорошего числа быть 
Дано двузначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 10.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 9?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 8?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
то 
что верно, например, при 
— частное числа 
и суммы его цифр равно 
то 
или 
В обоих этих случаях не существует натурального числа a, удовлетворяющего уравнению. Значит, частное трёхзначного числа и суммы его цифр не может быть равным 88.
и суммы его цифр. Тогда
получаем: 
и суммы его цифр равно 
Значит, наибольшее натуральное значение частного трёхзначного числа, не кратного 
где 
и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно.
то выполнено равенство 
Можно взять, например, число 
то выполнено равенство 
Равенства 
и 
невозможны, поскольку a не делится на 
или 
Значит, в числе нет нулей, но тогда 
где 
Обозначим 
по условию для хороших чисел k — целое число. Заметим, что
причем равенство 
достигается, если 
при всех 
верно неравенство 
а значит, 
Равенство 
достигается, если 
Это возможно, при 
означает, что
а значит, возможен единственный вариант: 
Но тогда 
что невозможно, так как a не кратно 11.
получаем неравенство
Значит, наименьшее натуральное значение частного трёхзначного числа и суммы его цифр равно 11.
где 
— цифры десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 
то 
что верно, например, при 
частное числа 
и суммы его цифр равно 
то 
Получаем: 
что верно, например, при 
частное числа 
и суммы его цифр равно 
и суммы его цифр. Тогда
получаем: 
где 
и c — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Если частное этого числа и суммы его цифр равно k, то выполнено 
то 
что верно, например, при 
Частное числа 410 и суммы его цифр равно 
то 
Если 
то 
Значит, 
и 
или 
Но ни 
ни 
не делится на 
и суммы его цифр. Тогда 
Учитывая, что 
Учитывая условие 
Это противоречит условию