СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 513797

Как известно, шахматный конь ходит буквой «Г» (рис.) 

Конь расположен в левой нижней клетке шахматной доски 8х8 (поле А1). 

а) Может ли конь оказаться в верхней правой клетке  (на поле Н8), сделав при этом ровно 2015 ходов?   

б) Может ли конь за 63 хода побывать в каждой из оставшихся 63 клеток?

в) За какое  наименьшее число  ходов конь может  оказаться в верхней  правой клетке (на поле Н8)?

Решение.

а) Будем считать, что все клетки имеют координаты от 1 до 8 по двум осям (поместим доску в первый координатный угол). Тогда каждый ход сумма координат меняется на 1 или на 3, то есть меняет четность. Поэтому за 2015 ходов четность суммы координат поменяется. Поскольку вначале эта сумма четна (1+1), конь не сможет попасть на поле суммой координат 8 + 8 за 2015 ходов.

б) На рисунке представлен один из вариантов маршрута коня. Клетки пронумерованы в порядке посещения.

в) При каждом ходе сумма координат меняется максимум на 3, а должна поменяться на 14. Поэтому не хватит 4 ходов, а за 5 ходов нельзя по тем же причинам, что и за 2015 — сменится четность. За 6 ходов это возможно. Укажем координаты посещаемых клеток: (1,1) − (2,3) − (4,4) − (6,3) − (5,5) − (6,7) − (8,8).

 

Ответ: а) нет б) да в) 6

 

Приведём другое решение п. а).

В начальный момент конь стоит на белой клетке. При каждом ходе цвет клетки меняется. Следовательно, за нечетное количество ходов, конь должен остановиться на белой клетке. Поле Н8 черное. Поэтому попасть в него конь не сможет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 151.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства