СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 513797

Как из­вест­но, шах­мат­ный конь ходит бук­вой «Г» (рис.) 

Конь рас­по­ло­жен в левой ниж­ней клет­ке шах­мат­ной доски 8х8 (поле А1). 

а) Может ли конь ока­зать­ся в верх­ней пра­вой клет­ке  (на поле Н8), сде­лав при этом ровно 2015 ходов?   

б) Может ли конь за 63 хода по­бы­вать в каж­дой из остав­ших­ся 63 кле­ток?

в) За какое  наи­мень­шее число  ходов конь может  ока­зать­ся в верх­ней  пра­вой клет­ке (на поле Н8)?

Ре­ше­ние.

а) Будем счи­тать, что все клет­ки имеют ко­ор­ди­на­ты от 1 до 8 по двум осям (по­ме­стим доску в пер­вый ко­ор­ди­нат­ный угол). Тогда каж­дый ход сумма ко­ор­ди­нат ме­ня­ет­ся на 1 или на 3, то есть ме­ня­ет чет­ность. По­это­му за 2015 ходов чет­ность суммы ко­ор­ди­нат по­ме­ня­ет­ся. По­сколь­ку вна­ча­ле эта сумма четна (1+1), конь не смо­жет по­пасть на поле сум­мой ко­ор­ди­нат 8 + 8 за 2015 ходов.

б) На ри­сун­ке пред­став­лен один из ва­ри­ан­тов марш­ру­та коня. Клет­ки про­ну­ме­ро­ва­ны в по­ряд­ке по­се­ще­ния.

в) При каж­дом ходе сумма ко­ор­ди­нат ме­ня­ет­ся мак­си­мум на 3, а долж­на по­ме­нять­ся на 14. По­это­му не хва­тит 4 ходов, а за 5 ходов нель­зя по тем же при­чи­нам, что и за 2015 — сме­нит­ся чет­ность. За 6 ходов это воз­мож­но. Ука­жем ко­ор­ди­на­ты по­се­ща­е­мых кле­ток: (1,1) − (2,3) − (4,4) − (6,3) − (5,5) − (6,7) − (8,8).

 

Ответ: а) нет б) да в) 6

 

При­ведём дру­гое ре­ше­ние п. а).

В на­чаль­ный мо­мент конь стоит на белой клет­ке. При каж­дом ходе цвет клет­ки ме­ня­ет­ся. Сле­до­ва­тель­но, за не­чет­ное ко­ли­че­ство ходов, конь дол­жен оста­но­вить­ся на белой клет­ке. Поле Н8 чер­ное. По­это­му по­пасть в него конь не смо­жет.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 151.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства