Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 513794
i

Окруж­но­сти ω1 и ω2 ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. A1A2 и B1B2  — их общие внеш­ние ка­са­тель­ные (A1 и B1  — точки ка­са­ния с ω1, A2 и B2  — точки ка­са­ния с ω2).

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между хор­да­ми A1B1 и A2B2 равно сред­не­му гар­мо­ни­че­ско­му диа­мет­ров окруж­но­стей. (сред­ним  гар­мо­ни­че­ским двух по­ло­жи­тель­ных чисел а и b на­зы­ва­ет­ся зна­че­ние вы­ра­же­ния  дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: b конец дроби конец дроби .

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка A1А2B2В1, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 9 и 4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим угол между ка­са­тель­ны­ми за 2 альфа , точку их пе­ре­се­че­ния за S, цен­тры окруж­но­стей за O_1 и O_2, а ра­ди­у­сы окруж­но­стей за r_1 и 2.

Тогда SA_1O_1  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, от­ку­да SA_1=r_1\ctg альфа . Кроме того, A_1B_1\perp SO_1, от­ку­да d левая круг­лая скоб­ка S,A_1B_1 пра­вая круг­лая скоб­ка =SA_1 ко­си­нус альфа =r_1\ctg альфа ко­си­нус альфа , ана­ло­гич­но d левая круг­лая скоб­ка S,A_2B_2 пра­вая круг­лая скоб­ка =r_2\ctg альфа ко­си­нус альфа и рас­сто­я­ние между хор­да­ми

левая круг­лая скоб­ка r_2 минус r_1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ctg альфа ко­си­нус альфа .

 

Рас­смот­рим те­перь тра­пе­цию A_1A_2O_2O_1. В ней O_1O_2=r_1 плюс r_2, а вы­со­та O_1H=A_1A_2. При этом HO_2=r_2 минус r_1, от­ку­да A_1A_2= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка r_1 плюс r_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка r_1 минус r_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r_1r_2 конец ар­гу­мен­та . По­сколь­ку O_1H\parallel A_1A_2, то \angle HO_1O_2=\angle A_1SO_1= альфа и по­это­му ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r_1r_2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: r_1 плюс r_2 конец дроби , \ctg альфа = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r_1r_2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: r_2 минус r_1 конец дроби . На­ко­нец, рас­сто­я­ние между хор­да­ми

 

левая круг­лая скоб­ка r_2 минус r_1 пра­вая круг­лая скоб­ка \ctg альфа ко­си­нус альфа = левая круг­лая скоб­ка r_2 минус r_1 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r_1r_2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: r_2 минус r_1 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r_1r_2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: r_1 плюс r_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4r_1r_2, зна­ме­на­тель: r_1 плюс r_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2r_1 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2r_2 конец дроби конец дроби

 

б)  Че­ты­рех­уголь­ник  — тра­пе­ция, вы­со­та ко­то­рой най­ден в про­шлом пунк­те в общем виде. В ука­зан­ном слу­чае она равна дробь: чис­ли­тель: 144, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби . Ос­но­ва­ния же тра­пе­ции можно найти так: A_1B_1=2SA_1 синус альфа = 2r_1\ctg альфа синус альфа , ана­ло­гич­но A_2B_2=2SA_2 синус альфа = 2r_2\ctg альфа синус альфа , по­это­му их по­лу­сум­ма со­ста­вит

левая круг­лая скоб­ка r_1 плюс r_2 пра­вая круг­лая скоб­ка \ctg альфа синус альфа = левая круг­лая скоб­ка r_1 плюс r_2 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус альфа =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: r_1r_2 конец ар­гу­мен­та =12.

Итого пло­щадь тра­пе­ции 12 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 144, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1728, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 1728, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 151
Методы геометрии: Свой­ства ка­са­тель­ных, се­ку­щих
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти, Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025