Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим сразу, что Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние.

Учи­ты­вая усло­вие имеем

б)  На ука­зан­ном от­рез­ке лежит

Ответ: a) б)

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем в плос­ко­сти BCS через точку S пря­мую, па­рал­лель­ную BC. Про­длим в этой плос­ко­сти BK до пе­ре­се­че­ния с этой пря­мой в точке T. По­сколь­ку точки A, D, T, S лежат в одной плос­ко­сти. Про­ве­дем AT в плос­ко­сти ASD и от­ме­тим точку пе­ре­се­че­ния AT и SD (точка L), BKLA  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  Пусть вы­со­та тра­пе­ции равна y, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна h. Тогда объем пи­ра­ми­ды V равен

Тре­уголь­ни­ки BCK и SKT по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том от­ку­да

Тре­уголь­ни­ки STL и DAL по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том от­ку­да

Те­перь вы­чис­лим объем пи­ра­ми­ды, раз­бив ее на три части. По­лу­чим

Сле­до­ва­тель­но,

Итак, ос­но­ва­ния тра­пе­ции от­ли­ча­ют­ся в два раза.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку имеем Раз­бе­рем два слу­чая.

1)   Тогда не­ра­вен­ство пе­ре­пи­шет­ся так

Итак, на всем этом про­ме­жут­ке не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся.

2)   Тогда не­ра­вен­ство пе­ре­пи­шет­ся так

Итак, под­хо­дят

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть R и r  — ра­ди­у­сы окруж­но­стей Пря­мая AB  — диа­метр окруж­но­сти мень­ше­го ра­ди­у­са. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов

от­ку­да

Что тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что от­ку­да

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка AFB по­лу­ча­ем:

Из пунк­та а) сле­ду­ет, что

Под­ста­вим в преды­ду­щее ра­вен­ство:

тогда

сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 59,5.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку общие за­тра­ты че­ло­ве­ко-часов на де­та­ли A со­став­ля­ют от всех за­трат, то ло­гич­но по­про­бо­вать по­де­лить ра­бо­чих в таком же от­но­ше­нии для на­чаль­но­го ва­ри­ан­та, ко­то­рый потом мо­ди­фи­ци­ро­вать. Будем для про­сто­ты го­во­рить, что ра­бо­чий де­ла­ет де­таль типа A за 2 ми­ну­ты, де­таль типа B за одну ми­ну­ту.

От­пра­вим 32 ра­бо­чих де­лать де­та­ли типа B и 114 ра­бо­чих де­лать де­та­ли типа A. По­сколь­ку пер­вая бри­га­да за­кон­чит ра­бо­ту за минут. Не­ко­то­рые ра­бо­чие сде­ла­ют по 62 де­та­ли, не­ко­то­рые по 63.

По­сколь­ку вто­рая бри­га­да будет ра­бо­тать 123 ми­ну­ты.

Ясно, что если уби­рать ра­бо­чих из пер­вой бри­га­ды, время толь­ко вы­рас­тет. По­про­бу­ем пе­ре­ве­сти од­но­го ра­бо­че­го из вто­рой бри­га­ды в первую.

по­это­му те­перь пер­вая бри­га­да будет ра­бо­тать 122 ми­ну­ты. по­это­му вто­рая будет ра­бо­тать 124 ми­ну­ты.

Ясно, что если еще уби­рать ра­бо­чих из вто­рой бри­га­ды, время будет расти. Итак, это самый луч­ший ва­ри­ант.

Ответ: 33 и 113 ра­бо­чих.

Ре­ше­ние. Раз­бе­рем два слу­чая.

1)   Тогда пер­вое урав­не­ние при­мет вид:

Это урав­не­ние окруж­но­сти с цен­тром в точке (0;1) и ра­ди­у­сом Точ­нее, учи­ты­вая до­пол­ни­тель­ное усло­вие, это урав­не­ние двух дуг этой окруж­но­сти  — верх­ней от точки (-2;4) до точки (3;3) и ниж­ней от точки (-2;-2) до точки (3;-1). Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы за­да­ет пря­мую, па­рал­лель­ную 3y  =  2x, при уве­ли­че­нии a пря­мая сме­ща­ет­ся вверх.

Вы­яс­ним сна­ча­ла, при каком a пря­мая 3y  =  2x + a ка­са­ет­ся окруж­но­сти. Для этого нужно, чтобы урав­не­ние (3y - a)² + 4(y - 1)²  =  52 имело един­ствен­ный ко­рень. Это будет, если дис­кри­ми­нант урав­не­ния 13y² - (6a + 8)y + a² - 48  =  0 будет равен нулю, то есть при

Вы­яс­ним те­перь , при каких зна­че­ни­ях a пря­мые про­хо­дят через концы дуг.

по­это­му при есть одно ре­ше­ние, при и при ре­ше­ний нет. Учи­ты­вая най­ден­ные ка­са­тель­ные, на­хо­дим также, что при будет два ре­ше­ния, при a  =  -10  — одно ре­ше­ние, при a < -10 ре­ше­ний нет.

2)   (-2;3). Тогда пер­вое урав­не­ние при­мет вид:

от­ку­да x  =  y или x + y - 2  =  0, y  =  2 - x

В пер­вом слу­чае из вто­ро­го урав­не­ния x  =  y  =  a, во вто­ром

По­это­му при 16 вто­рой слу­чай дает 2 корня,

при [3;16)  — один ко­рень,

при   — нет кор­ней

при   — один ко­рень,

при   — два корня.

Сов­ме­щая по­лу­чен­ные от­ве­ты, на­хо­дим, что один или два корня будут при a < 10 , при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим. что сумма чисел на доске ме­ня­ет­ся на удво­ен­ное вы­чи­та­е­мое число. По­это­му сумма чисел на доске все­гда оста­ет­ся чет­ной, по­это­му не смо­жет стать чис­лом 15, как тре­бу­ет­ся в за­да­че.

б)  Да, смот­ри при­мер в пунк­те в).

в)  За­ме­тим, что рядом с чис­лом 10 обя­за­тель­но стоит число, да­ю­щее раз­ность не боль­ше 9. По­это­му боль­ше 9 сде­лать нель­зя. C дру­гой сто­ро­ны, рас­ста­вив числа в по­ряд­ке мы до­стиг­нем раз­но­сти 9.

Ответ: а) нет, б) да, в) 9.