СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 513790

а) На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

б) Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком‐либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна  12 – 9 = 3. Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?

в) Каково наибольшее возможное значение этой величины? 

Решение.

а) Заметим. что сумма чисел на доске меняется на удвоенное вычитаемое число. Поэтому сумма чисел на доске всегда остается четной, поэтому не сможет стать числом 15, как требуется в задаче.

б) Да, смотри пример в пункте в).

в) Заметим, что рядом с числом 10 обязательно стоит число, дающее разность не больше 9. Поэтому больше 9 сделать нельзя. C другой стороны, расставив числа в порядке мы достигнем разности 9.

 

Ответ: а) нет, б) да, в) 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 150.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства