а) На доске записаны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть еще два, потом — еще три, и, наконец, стереть еще четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?
б) В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.
а) Сумма всех чисел изначально равна 594, что кратно 11, поэтому первое стертое число должно быть 44. С другой стороны, поледнее оставшееся число тоже должно быть 44 — противоречие.
б) Докажем сначала, что из любых n натуральных чисел, выписанных в строку, всегда можно найти несколько подряд, сумма которых кратна n.
В самом деле, сложим одно число, начиная с первого, затем два числа, начиная с первого и так далее до суммы всех чисел. Получим n сумм. Если среди них есть сумма, кратная n, то все доказано. Если нет, то найдутся две суммы с одинаковыми остатками от деления на n (всего ненулевых остатков ровно 
). Вычтем из большей меньшую — получим сумму нескольких подряд чисел, кратную n.
Перейдем к решению задачи. Разобьем числа на 3 группы по 5 чисел и 4 группы по два числа. По лемме выделим в них наборы подряд стоящих чисел, кратных 5 и 2 соответственно. Поставим внутри наборов плюсы, вокруг наборов скобки и в остальных местах знаки умножения. Тогда результат будет делиться на 
что и требовалось доказать.