PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 513770 
Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа, Основное тригонометрическое тождество и его следствия
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение, не забывая что 
или 
(невозможно, 
) или 
б) Указанному отрезку принадлежат 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 513770
а) б)
б) 
по теореме о трех перпендикулярах. Кроме того, 
поэтому 
Итак, 
и 
C другой стороны, 
поэтому 
Итак, 
Значит, 
то 
Поэтому 
(как линия пересечения плоскостей FBD и 
Следовательно, 
Неравенство равносильно 
то есть
что верно на всем промежутке.
Неравенство равносильно 
то есть 
что верно при 
то равны и дуги AB и CD, а значит и опирающиеся на них углы 
и 
Поэтому накрест лежащие углы, образованные сторонами BC и AD с секущей BD, равны. Поэтому ABCD — трапеция. Ее боковые стороны равны по условию.
Опустим перпендикуляры BE и CF на сторону AD. Тогда 
аналогично 
поэтому 
Поэтому 
тогда 
и 
тыс. руб, стоимости строительных работ 
тыс.руб и стоимости отделочных работ 
тыс. руб. Числа p1, p2, p3 являются последовательными членами геометрической прогрессии, их сумма равна 21, а произведение равно 64. Если построить 63 дома, то затраты на материалы будут меньше, чем затраты на строительные и отделочные работы. Сколько следует построить домов, чтобы общие затраты были минимальными?
откуда 
Тогда 
откуда по теореме Виета одно из чисел 
и 
равно 1, а второе 16. Рассмотрим два случая.
Если построить 63 дома, каждый из них будет иметь площадь 
тогда затраты на материалы составят 
а на остальное 
Докажем, что 
то есть, что 
это верно, поскольку 
штук, и за каждый придется заплатить 
поэтому общие расходы на строительство составят 
Однако построить 
домов нельзя, поскольку это нецелое число.
растет при удалении x от единицы в любую сторону (его производная 
положительна при 
и отрицательна при 
Значит, нужно выбрать a как можно ближе к 16. При этом 
или 
м2. Осталось выяснить, какая из дробей 
или 
меньше (они обе больше единицы, поэтому для меньшей из дробей ее сумма с обратной будет меньше). Итак, сравним числа:
более выгодно будет построить 156 домов.
Очевидно, тогда 
поэтому такой случай невозможен.
При этих значениях a можно найти z — оно будет равно 
При 
получаем 
следовательно, второе уравнение не имеет смысла. При 
значение z — заведомо положительное и не равное единице число, поэтому второе уравнение можно упростить.
(при этом необходимо и достаточно, чтобы 
то решение системы найдется (сначала найдем x, потом y, а формула для z уже есть).
).
). Вычтем из большей меньшую — получим сумму нескольких подряд чисел, кратную n.
что и требовалось доказать.