Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Ясно, что точки, в ко­то­рых в урав­не­ние не под­хо­дят. По­это­му можно по­де­лить на

б)  На ука­зан­ном от­рез­ке лежат точки

Ответ: а) или б)

Ре­ше­ние. а)  Имеем:

б)  Про­дол­жим EF до пе­ре­се­че­ния с AB в точке T. Тогда тре­уголь­ни­ки TEA и TFB по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Опу­стим те­перь пер­пен­ди­ку­ляр из A на пря­мую CT, обо­зна­чив его ос­но­ва­ние за H. Тогда по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Зна­чит,   — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и ECF.

Пусть все ребра приз­мы равны Тогда

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка CBT имеем

Вы­чис­лим те­перь вы­со­ту в тре­уголь­ни­ке CAT.

Зна­чит, в тре­уголь­ни­ке EAH имеем

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство, учи­ты­вая

Итак, сумма двух вза­им­но об­рат­ных чисел боль­ше двух. Так бы­ва­ет, если они по­ло­жи­тель­ны и не равны 1.

толь­ко при то есть при

воз­мож­но в двух слу­ча­ях  — либо (то есть либо (что не­воз­мож­но).

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка DE. Тогда от­рез­ки ME и FB равны и па­рал­лель­ны, сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник MEBF  — па­рал­ле­ло­грамм, по­это­му от­ку­да а зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник DCEF впи­сан в окруж­ность, а тогда Пря­мые DE и AB па­рал­лель­ны, по­это­му Тре­уголь­ник BFE рав­но­бед­рен­ный с углом 60°, сле­до­ва­тель­но, он рав­но­сто­рон­ний. Что тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что

от­ку­да и сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 

При­ве­дем ре­ше­ние Ва­ле­рия Гри­го­рье­ва.

а)  Про­дол­жим от­рез­ки DF и BC до пе­ре­се­че­ния в точке К. В тре­уголь­ни­ке DEK от­ре­зок BF  — сред­няя линия, так как он па­рал­ле­лен ос­но­ва­нию DE и равен его по­ло­ви­не. Тогда EK  =  2, зна­чит, тре­уголь­ник DEK  — рав­но­бед­рен­ный, а точка F  — се­ре­ди­на DK, от­ку­да DF  =  FK. Сле­до­ва­тель­но, CF  — ме­ди­а­на в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CDK, и по­то­му CF  =  FK.

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник CFK  — рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны 30°. В тре­уголь­ни­ке DEK имеем: и а смеж­ный с ним угол CED равен 60°. Это угол, в свою оче­редь, яв­ля­ет­ся со­от­вет­ствен­ным с углом ABC при па­рал­лель­ных DE и AB и се­ку­щей BE. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник EFB  — рав­но­бед­рен­ный с углом 60°, то есть рав­но­сто­рон­ний.

б)  В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CDE имеем: и от­ку­да Ги­по­те­ну­за AB вдвое боль­ше сред­ней линии DE, то есть AB  =  4. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABC по­лу­ча­ем Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что пер­вый экс­ка­ва­тор может за день вы­ко­пать от 150 до 250 ку­бо­мет­ров (если будет не­ко­то­рое время ко­пать мяг­кий грунт, а осталь­ное твер­дый). Ана­ло­гич­но вто­рой экс­ка­ва­тор может за день вы­ко­пать от 100 до 480 ку­бо­мет­ров.

Зна­чит, пер­вый ра­бо­тал 3 или 4 дня, а вто­рой  — от 1 до 3. Тогда арен­да пер­во­го сто­и­ла не менее 180 руб­лей, по­это­му на­нять вто­рой на 3 дня уже не вый­дет.

Оста­ют­ся ва­ри­ан­ты:

1)  пер­вый на три дня, вто­рой на один.

2)  пер­вый на че­ты­ре дня, вто­рой на один.

3)  пер­вый на три дня, вто­рой на два.

4)  пер­вый на че­ты­ре дня, вто­рой на два (не­воз­мож­но из-за пре­вы­ше­ния суммы на опла­ту).

Ответ: 1) пер­вый на три дня, вто­рой на один; 2) пер­вый на че­ты­ре дня, вто­рой на один; 3) пер­вый на три дня, вто­рой на два.

Ре­ше­ние. Из вто­ро­го урав­не­ния сле­ду­ет, что или (ясно, что од­но­вре­мен­но этого про­изой­ти не может).

Под­став­ляя в пер­вое, по­лу­чим два урав­не­ния, ко­то­рые вме­сте долж­ны иметь два корня.

За­ме­тим, что урав­не­ние вида можно по­ни­мать так  — «найти все точки на оси, сумма рас­сто­я­ний от ко­то­рых до двух дан­ных точек b и c равна d.» Оче­вид­но, у этой за­да­чи нет ре­ше­ний при бес­ко­неч­но много ре­ше­ний при и два ре­ше­ния при

По­это­му нужно, чтобы одно из вы­ра­же­ний было боль­ше двух, а дру­гое мень­ше двух. Вы­яс­ним, когда они мень­ше двух.

На гра­ни­цах ин­тер­ва­лов за­дан­ная си­сте­ма урав­не­ний имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний, в про­ме­жут­ке   — че­ты­ре ре­ше­ния, а при осталь­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a ре­ше­ний не будет.

Зна­чит, нас устро­ят

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Если уда­лить числа от 1 до 9, то сумма де­вя­ти даже самых ма­лень­ких из остав­ших­ся будет

По­это­му на­брать сумму 100 будет нель­зя.

б)  Рас­смот­рим пары чисел Если уда­лить 8 чисел, то ми­ни­мум 4 пары оста­нут­ся це­лы­ми. В каж­дой из них сумма 25 и общая сумма 100.

Ответ а) нет, б) да.