Ре­ше­ние. а)  Пе­ре­пи­шем урав­не­ние

б)  От­рез­ку  при­над­ле­жит толь­ко один ко­рень

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим за F точку пе­ре­се­че­ния MN и BD. Оче­вид­но, BF  — бис­сек­три­са угла MBN. Пусть ребро куба равно 6x, тогда тогда Тогда от­ку­да Кроме того,

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке BNF по­лу­ча­ем

от­ку­да

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник Про­ве­дем в нем через точку F пря­мую, па­рал­лель­ную (оче­вид­но, она лежит в дан­ной плос­ко­сти). Пусть она пе­ре­се­чет сто­ро­ну в точке K. Тогда

б)  Вы­чис­ле­ния пунк­та а) оста­ют­ся в силе, Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры на MN из точек D и Оче­вид­но, они упа­дут в одну точку, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах. Обо­зна­чим эту точку за T. Тогда Най­дем DT. Оче­вид­но,

Зна­чит,

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство

От­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку то по­это­му тре­уголь­ни­ки ABC и CBE по­доб­ны (по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия). Сле­до­ва­тель­но,

б)  

Ответ:

Ре­ше­ние. Возь­мем спла­вы так, чтобы сум­мар­ная масса ока­за­лась равна 1 ки­ло­грамм. Пусть тре­тье­го спла­ва взято x кг, вто­ро­го y кг. Тогда масса пер­во­го равна кг. Се­реб­ра в ре­зуль­та­те будет от­ку­да Зна­чит, пер­во­го спла­ва взяли Ясно, что и любое такое x до­пу­сти­мо.

Масса олова со­став­ля­ет

то есть лежит в пре­де­лах [0,4875, 0,6375].

Ответ: от 48,75% до 63,75%.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Вы­яс­ним, сколь­ко кор­ней имеет урав­не­ние в за­ви­си­мо­сти от b.

Если то ко­рень толь­ко В осталь­ных слу­ча­ях вы­чис­лим дис­кри­ми­нант.

Его дис­кри­ми­нант равен Это по­ло­жи­тель­но при равно нулю на кон­цах этого про­ме­жут­ка и от­ри­ца­тель­но при про­чих b.

По­сколь­ку нам нужно, чтобы было три корня, одно из урав­не­ний долж­но иметь один ко­рень, а дру­гое два.

Слу­чай 1. Тогда одно из урав­не­ний имеет един­ствен­ный ко­рень а вто­рое не имеет кор­ней при так как имеет два корня при так как

Слу­чай 2. Это дает ва­ри­ан­ты и ко­то­рые не под­хо­дят (для них одно из чисел дает один ко­рень, а вто­рое ни од­но­го), и ва­ри­ан­ты и ко­то­рые под­хо­дят (для них одно из чисел дает один ко­рень, а вто­рое два).

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но, про­из­ве­де­ние чисел в одной из групп крат­но 7, а в осталь­ных  — не крат­но 7.

б)  Да, на­при­мер

в)  Обо­зна­чая цифры a, b в пер­вой груп­пе, c, d, e во вто­рой и f, g, h, i в тре­тьей, по­лу­чим сумму

Если по­ме­ня­ем ме­ста­ми f и 9, от этого сумма уве­ли­чит­ся. Ана­ло­гич­но по­ста­вим на места c, d цифры 7 и 8, на места h, d, a  — цифры 4, 5, 6, на остав­ши­е­ся места  — остав­ши­е­ся цифры. Тогда общая сумма будет В ка­че­стве чисел можно взять, на­при­мер, 9863 + 752 + 41.

Ответ: а) нет, б) да, в) 10656.