PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, CD = 16. Найдите периметр четырехугольника ABCD.
Даны векторы 
Найдите длину вектора 
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме «Неравенства». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме «Неравенства».
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Найдите корень уравнения 
Найдите значение выражения 
На рисунке изображен график функции 
и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре 
Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением 
Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе 
кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением 
(с), где 
− постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошла 21 с. Ответ дайте в киловольтах.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
На рисунке изображён график функции 
Найдите 
Найдите точку минимума функции 
а) Решите уравнение 
б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите объем пирамиды MABF, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 8.
Решите неравенство 
В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 40 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на 25% меньше долга на июль предыдущего года;
— в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила 61,875 млн рублей. Найдите r.
В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. Отрезок EH — перпендикуляр из точки E на прямую MK.
а) Докажите, что EK ∥ CH.
б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CH к EK.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно 2 решения.
На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее –32. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных — на 8. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным 1?
б) Может ли количество синих карт быть равным 40?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?
при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе 
кВ,
Ом и ёмкости конденсатора 
Ф:
км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 7 часов, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Отсюда имеем: 
Таким образом, 
и 
Шестиугольник ABCDEF — правильный, следовательно, прямая BC параллельна прямым AD и KM, и 
В четырехугольнике BCMК стороны KM и BC параллельны и равны, а потому этот четырехугольник — параллелограмм. Тогда прямые BK и CM параллельны, значит, они лежат в одной плоскости.
Из прямоугольного треугольника NOQ получаем:
всегда положительно. Используя основное логарифмическое тождество, получим:
Сумма углов MCE и MHE равна 180°, поэтому четырехугольник MHEC — вписанный. Следовательно, углы EMH и ECH равны как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу, которую стягивает эта хорда, а потому 
Таким образом, 
то есть при пересечении прямых EK и CH секущей BC соответственные углы равны, а такие прямые параллельны.
Пусть 
тогда из равнобедренного треугольника BEK находим 
Получаем:
Из условия получаем:
Отрезок EM — диаметр описанной около четырехугольника CEHM окружности, потому что на него опираются два прямых угла. Эта окружность служит описанной и для треугольника CEH. По свойству вписанного четырехугольника получаем 
По теореме синусов для треугольника CEH находим:
а потому
а потому
значения 
не определены, а корень 
Этот случай подходит.
уравнение имеет три решения: 
Этот случай не подходит.
уравнение два различных положительных корня 
и 
и два отрицательных. Корни 
и 
совпадают друг с другом при 
Однако при данном значении параметра уравнение имеет три решения: 
Этот случай не подходит.
уравнение имеет отрицательный корень 
