В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M — середина SD, точка K — середина SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите объем пирамиды MABF, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 8.
а) Отрезок KM — средняя линия треугольника ASD, поэтому прямые KM и AD параллельны, и 
Шестиугольник ABCDEF — правильный, следовательно, прямая BC параллельна прямым AD и KM, и 
В четырехугольнике BCMК стороны KM и BC параллельны и равны, а потому этот четырехугольник — параллелограмм. Тогда прямые BK и CM параллельны, значит, они лежат в одной плоскости.
б) Пусть точка N — точка пересечения высоты SO и прямой KM. Проведем через точку O прямую QT, перпендикулярную прямой BC. Прямая NQ — наклонная, прямая OQ — проекция, тогда по теореме о трех перпендикулярах, прямая NQ перпендикулярна прямой BC. Угол NQT — линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды. Из равностороннего треугольника OBC находим: 
Из прямоугольного треугольника NOQ получаем:
Точки M, N и K лежат на одной прямой, поэтому высоты, проведенные из этих точек на плоскость основания пирамиды, равны друг другу. Найдем площадь треугольника ABF:
Таким образом, объем пирамиды MABF равен:
Ответ: 
-------------
Дублирует задание № 701418.Спрятать критерии