Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)   Отбор кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  По­ме­стим за­дан­ный па­рал­ле­ле­пи­пед в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке D(0; 0; 0), как по­ка­за­но на ри­сун­ке 1.

Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты не­ко­то­рых его вер­шин: B(5; 3; 0), A₁(5; 0; 4), C₁(0; 3; 4). Будем ис­кать урав­не­ние плос­ко­сти BA₁C₁ в виде ax + by + cz + d  =  0. И пусть при этом d  =  120.

Вы­чи­тая почлен­но из пер­во­го урав­не­ния вто­рое, по­лу­чим: Под­став­ля­ем по­лу­чен­ный ре­зуль­тат в тре­тье урав­не­ние: Далее:

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое урав­не­ние имеет вид: или

Не­труд­но за­ме­тить, что ко­ор­ди­на­ты точки D не удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию плос­ко­сти, сле­до­ва­тель­но, эта точка D с точ­ка­ми B, C₁ и A₁ в одной плос­ко­сти не лежит.

б)  Рас­смот­рим пи­ра­ми­ду с ос­но­ва­ни­ем BA₁C₁ и вер­ши­ной D. Вы­со­ту ее най­дем как рас­сто­я­ние ρ от точки D до плос­ко­сти BA₁C₁.

Най­дем сто­ро­ны Δ BA₁C₁.

Те­перь най­дем вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­но­го к сто­ро­не A₁B (ри­су­нок 2).

Таким об­ра­зом,

Ответ: б) 20.

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x:

В даль­ней­шем за­дан­ное не­ра­вен­ство будем рас­смат­ри­вать толь­ко на мно­же­стве

На M:

1)  Если то есть то:

2)  Если то есть то:

Итак, ре­ше­ния за­дан­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть Тогда: От­сю­да: Но рав­но­ве­ли­кие и имеют общее ос­но­ва­ние AD, зна­чит, их вы­со­ты, опу­щен­ные из точек B и C к этой сто­ро­не на­зван­ных тре­уголь­ни­ков обя­за­ны быть рав­ны­ми, от­ку­да что в свою оче­редь сви­де­тель­ству­ет о том, что точки A и D оди­на­ко­во уда­ле­ны от пря­мой

б)  

Про­ве­дем от­рез­ки и Оче­вид­но, что Пусть Тогда:

Из точки O про­ве­дем вы­со­ты и тре­уголь­ни­ков BOC и AOD со­от­вет­ствен­но.

Из па­рал­лель­но­сти BC и AD сле­ду­ет: как на­крест ле­жа­щие, об­ра­зо­ван­ные при пе­ре­се­че­нии двух па­рал­лель­ных пря­мых тре­тьей-се­ку­щей; как вер­ти­каль­ные, от­ку­да:

По­сколь­ку

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть еже­год­ный объем про­дук­ции, вы­пус­ка­е­мой пер­вым за­во­дом, со­став­ля­ет x еди­ниц, вто­рым за­во­дом  — у, тре­тьим за­во­дом z еди­ниц. Тогда в со­от­вет­ствии с усло­ви­ем за­да­чи имеет место си­сте­ма урав­не­ний:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ную си­сте­му.

По­след­няя си­сте­ма пред­ста­ви­ма как со­во­куп­ность двух сме­шан­ных си­стем:

Далее рас­смот­рим слу­чаи, когда :

1)

2)  каж­дая из си­стем (*) , (**) имеет (не имеет) два оди­на­ко­вых ре­ше­ния;

3)  

4)  си­сте­мы (*) и (**) имеют по два раз­лич­ных ре­ше­ния.

1)  При ис­ход­ная си­сте­ма при­мет вид:

и имеет ровно одно ре­ше­ние. От­сю­да: 0  — ис­ко­мое зна­че­ние па­ра­мет­ра.

2)  Ясно, что урав­не­ние ни при каких зна­че­ни­ях а двух оди­на­ко­вых кор­ней не имеет, тогда как най­дет­ся зна­че­ние а, при ко­то­ром урав­не­ние имеет два оди­на­ко­вых корня при т. е. при

Если то си­сте­ма (*) не­сов­мест­на, так как ра­вен­ство ни при каких зна­че­ни­ях x не вы­пол­ни­мо. При том же зна­че­нии а си­сте­ма (**) будет иметь ровно одно ре­ше­ние (то есть два сов­па­да­ю­щих ре­ше­ния):

Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние от­но­сит­ся к числу ис­ко­мых.

3)  При имеем:

Если то Если же то

При си­сте­ма (*):

Из по­лу­чен­ных кор­ней по­дой­дет толь­ко один:

При том же зна­че­нии а си­сте­ма (**) при­мет вид:

Из числа по­лу­чен­ных кор­ней под­хо­дит ко­рень Таким об­ра­зом, при ис­ход­ная си­сте­ма ис­ко­мым зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра не яв­ля­ет­ся.

При си­сте­ма (*):

Из числа по­лу­чен­ных кор­ней под­хо­дит толь­ко

При том же зна­че­нии а си­сте­ма (**) имеет вид:

не под­хо­дит. Также не по­дой­дет До­ка­жем по­след­нее не­ра­вен­ство.

(не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Итак, при ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние, т. е. число от­но­сит­ся к числу ис­ко­мых зна­че­ний па­ра­мет­ра.

Итак, в даль­ней­ших ис­сле­до­ва­ни­ях зна­че­ния па­ра­мет­ра а, рав­ные нас ин­те­ре­со­вать не будут.

4)  Те­перь по­тре­бу­ем, чтобы каж­дая из си­стем (*) и (**) имела ровно два корня, один из ко­то­рых мень­ше 2, а дру­гой  — боль­ше 2 и най­дем зна­че­ния а, со­от­вет­ству­ю­щие этим си­ту­а­ци­ям.

Рас­смот­рим в этом ключе функ­ции: 8 и Для того, чтобы один из кор­ней квад­рат­но­го трех­чле­на име­ю­ще­го два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня, был боль­ше числа 2, а дру­гой  — мень­ше числа 2, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ние не­ра­вен­ства где a  — стар­ший ко­эф­фи­ци­ент квад­рат­но­го трех­чле­на.

Решим не­ра­вен­ства:

Ис­хо­дя из толь­ко что по­лу­чен­но­го, а также с уче­том ранее по­лу­чен­ных ре­зуль­та­тов будем иметь: ис­ко­мые зна­че­ния па­ра­мет­ра а есть эле­мен­ты мно­же­ства

Ответ:

Ре­ше­ние. а)   по­это­му ра­вен­ство не­воз­мож­но.

б)  Пусть тогда

в)  

Ответ: а) нет; б) да, на­при­мер, 15 · 60  =  30²; в)