ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 692916 Добавить в вариант

Решите неравенство $10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка .$

ИЛИ

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2025 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2026x плюс 2025 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 2026 в степени x минус 2026 в степени левая круглая скобка 2027 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

$10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в кубе x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 9 равносильно 8 меньше или равно x меньше или равно 512.$ $10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в кубе x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 9 равносильно 8 меньше или равно x меньше или равно 512.$ $10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в кубе x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 9 равносильно 8 меньше или равно x меньше или равно 512.$ $10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в кубе x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 9 равносильно 8 меньше или равно x меньше или равно 512.$ $10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в кубе x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 9 равносильно 8 меньше или равно x меньше или равно 512.$ $10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию 2 в кубе x плюс 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 в кубе x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 3 в степени левая круглая скобка \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 3 в степени левая круглая скобка 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно \log в квадрате _3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 3 логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно 1 меньше или равно логарифм по основанию 3 левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x правая круглая скобка меньше или равно 2 равносильно$
$равносильно 3 меньше или равно логарифм по основанию 2 x меньше или равно 9 равносильно 8 меньше или равно x меньше или равно 512.$

Ответ: [8; 512].

ИЛИ

Применим метод рационализации: на ОДЗ знак выражения вида $логарифм по основанию a f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус логарифм по основанию a g левая круглая скобка x правая круглая скобка$ эквивалентен знаку выражения вида $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ а знак выражения вида $a в степени левая круглая скобка p левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка минус a в степени левая круглая скобка q левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$ эквивалентен знаку выражения вида $левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка p левая круглая скобка x правая круглая скобка минус q левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Получим:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2025 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2026x плюс 2025 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 2026 в степени x минус 2026 в степени левая круглая скобка 2027 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2025 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2026x плюс 2025 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 2025 правая круглая скобка 2025, знаменатель: x минус 2027 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x в квадрате минус 2026x плюс 2025 минус 2025, знаменатель: x минус 2027 конец дроби больше или равно 0, x в квадрате минус 2026x плюс 2025 больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений дробь: числитель: x левая круглая скобка x минус 2026 правая круглая скобка , знаменатель: x минус 2027 конец дроби больше или равно 0, левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2025 правая круглая скобка больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше или равно 2026, x больше 2027, конец системы . совокупность выражений x меньше 1, x больше 2025 конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше или равно x меньше 1, 2025 меньше x меньше или равно 2026, x больше 2027. конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка 0; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2025; 2026 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 2027; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 522

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь