В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: 
BC = 4, AA1 = 3. Через центр грани AA1D1D перпендикулярно диагонали BD1 проходит плоскость α, которая пересекает прямую A1B1 в точке N.
а) Докажите, что B1N : NA1 = 3 : 1.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC.
ИЛИ
Все ребра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 16. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SB и проходящая через точку O, пересекает рёбра SA и SD в точках K и L соответственно. Точка K делит ребро SA в отношении SK : KA = 3 : 5.
а) Докажите, что точка L — середина ребра SD.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OKL пересекает грань SCD.
а) Введем систему координат с началом в точке B, оси направим вдоль ребер параллелепипеда так, как показано на рисунке. В этой системе координат 
поэтому уравнение плоскости α имеет вид 
Пусть центр грани AA1D1D есть точка 
Подставим координаты этой точки в уравнение плоскости:
поэтому уравнение плоскости α принимает вид 
В этой системе координат 
следовательно, уравнение прямой B1A1 суть 
Подставим в уравнение плоскости α и найдем точку пересечения прямой B1A1 и этой плоскости:
Это и есть точка N:
б) Нормалью к плоскости основания параллелепипеда является вектор 
Найдем косинус искомого угла ϕ:
откуда 
Ответ: 
ИЛИ
а) Прямые OL и SB лежат в одной плоскости, поэтому они либо пересекаются, либо параллельны. Если бы эти прямые пересекались, плоскость α не была бы параллельна ребру SB. Следовательно, прямые OL и SB параллельны, а точка O — середина отрезка BD. Таким образом, точка L — середина ребра SD.
б) Продлим отрезок KL за точку L до пересечения с продолжением ребра AD за точку D в точке T. Точки K, L, T и P лежат в плоскости α, поэтому отрезок PL — искомый. По теореме Менелая для треугольника ASD и прямой KT получаем:
По теореме Менелая для треугольника ACD и прямой OT находим:
Значит, 
треугольник SDC — равносторонний, а потому 
По теореме косинусов для треугольника LDP получаем:
Ответ: б)