В треугольнике АВС BC = 8, AC = 7 проведена биссектриса ВЕ, которая пересекает сторону АС в точке E, причем известно, что центр О вписанной в треугольник АВС окружности делит ВE в отношении BO : OE = 2 : 1.
а) Докажите, что сторона АВ делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5 : 7, считая от точки А.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
ИЛИ
В канун Нового года Дед Мороз решил проверить, не забыл ли он геометрию за годы раздачи подарков. Он нарисовал на льду озера параллелограмм ABCD и обнаружил удивительный факт: биссектриса угла BAC оказалась перпендикулярна диагонали BD — «Вот это новогоднее чудо!» — воскликнул он. Эта биссектриса пересекла сторону BC в точке L.
а) Дед Мороз просит Вас помочь ему доказать, что BL : LC = 1 : 2. Подсказка от Снегурочки: «Используй свойство биссектрисы и то, что в параллелограмме диагонали делятся пополам — как мандарины на столе!»
б) После доказательства Дед Мороз провел измерения и оказалось, что диагональ BD = 10, AL = 8. Найдите площадь четырехугольника DCLO, где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма.
а) Пусть точка N — точка касания окружности со стороной AB. По свойству биссектрисы в треугольнике EBC получаем:
а потому 
Аналогично из треугольника ABE находим:
Пусть точки K и M суть точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно. Пусть также 
тогда
Получаем уравнение:
то есть 
откуда 
б) Найдем полупериметр треугольника ABC:
Применим формулу Герона, получим:
Ответ: 
ИЛИ
а) В треугольнике ABD биссектриса и высота, проведенные из вершины A, лежат на одной прямой. Значит, этот треугольник равнобедренный, 
Треугольник ABO также является равнобедренным, 
Получаем отношения:
По свойству биссектрисы из треугольника ABC получаем 
б) Площади треугольников, имеющих одинаковую высоту, относятся как основания, к которым проведена эта высота: 
Отсюда 
Далее:
Так как 
то
Следовательно,
Ответ: б) 25.