В турнире по футболу на кубок Содружества участвовали 6 команд из России и 12 команд из других стран СНГ. При победе в матче команда получала 2 очка, в случае ничьей 1 очко, при поражении 0 очков. После окончания турнира оказалось, что все команды набрали разное количество очков. При этом сумма очков российских команд была равна сумме очков всех команд из других стран.
а) Могли ли все российские команды не проиграть ни одного матча с командами из других стран?
б) Могли ли российские команды побеждать во всех матчах с командами из других стран?
в) Может ли в тройке призеров турнира не быть ни одной российской команды?
ИЛИ
В новогоднюю ночь Дед Мороз и Баба Яга устроили математическое соревнование. Дед Мороз написал на волшебной доске число 8 (по количеству своих оленей), а затем каждую минуту дописывал новое число, которое получалось либо удвоением какого-то из уже написанных чисел, либо сложением двух любых имеющихся на доске чисел.
а) Могло ли на доске появиться число 2028?
б) Могла ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 96?
в) Через какое наименьшее время (в минутах) на доске могло появиться число 896?
В каждой игре раздаются игрокам по 2 очка, поэтому всего будет роздано 
очков, из которых 153 должны получить российские команды и 153 — прочие. Заметим, что прочие команды получают 
очка в играх между собой, поэтому еще 
очко они набирают в играх с российскими командами. Значит, проиграть все матчи российским командам они не могут (это пункт б).
Построим теперь пример, когда российские команды не проигрывают ни одного матча и, значит, делают 21 ничью. Упорядочим прочие команды по силе, и пусть слабая всегда проигрывает сильной. Тем самым команды наберут 
очка в матчах между собой.
Далее, выберем три «слабых» и три «сильных» российских команды. Пусть слабые сыграют вничью с семью слабыми из прочих, а у остальных прочих выиграют, а сильные выиграют все матчи с прочими командами. Теперь прочие команды имеют 
очка и сумма их очков как раз 153, слабые российские команды имеют по 17, а сильные российские по 24. Теперь упорядочим и российские по силе (при этом слабые сделаем тремя слабейшими) и пусть сильная всегда выигрывает у слабой. Тогда в итоге российские команды будут иметь результаты 17, 19, 21, 30, 32, 34. Как видно никаких повторов результата не произошло.
в) Допустим так произошло. Остальные 9 команд из СНГ набрали только в играх между собой 
очка, поэтому на долю трех победителей приходится не более 
очка. Значит, команда, занявшая третье место, набрала не более 26 очков, поскольку 
Значит, российские команды набрали не более
очков, противоречие.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет.
ИЛИ
а) Заметим, что все числа делятся на 8: это правда для первого числа, а при удвоении и сложении кратных 8 чисел результаты тоже получаются кратными 8. Но 2028 не кратно 8.
б) Да. Например, так: 8, 
При этом 
в) Заметим, что наибольшее число на доске растет каждую минуту не более чем в два раза. Можно получить 896 так:
8, 
Это потребует 8 минут.
Допустим, что можно добиться цели за 7 минут. Если делать за это время только удвоения, получим 
Если же хоть один раз сделать не удвоение, а сложение, то при первом этом действии максимальное число вырастет не более чем в полтора раза (если максимальное x, то предыдущее было 
и потому максимальное число не превысит 
Ответ: а) нет; б) да; в) 8 минут.