Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 692914
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  синус x минус ко­си­нус x = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс синус 2x конец ар­гу­мен­та минус 1.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

ИЛИ

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2025 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 2026 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x минус 1.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; 4 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что:

1 плюс синус 2x = синус в квад­ра­те x плюс 2 синус x ко­си­нус x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x = левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

и по­то­му

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс синус 2x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = | синус x плюс ко­си­нус x|.

Далее имеем:

 | синус x плюс ко­си­нус x| = синус x минус ко­си­нус x плюс 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x плюс ко­си­нус x = синус x минус ко­си­нус x плюс 1 , синус x плюс ко­си­нус x = минус синус x плюс ко­си­нус x минус 1, конец си­сте­мы . синус x минус ко­си­нус x плюс 1 боль­ше или равно 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец си­сте­мы . синус x минус ко­си­нус x боль­ше или равно минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k , x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k , x = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k , конец си­сте­мы . синус x минус ко­си­нус x боль­ше или равно минус 1, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Под­став­ляя най­ден­ные серии в не­ра­вен­ство  синус x минус ко­си­нус x боль­ше или равно минус 1, за­клю­ча­ем, что под­хо­дят x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k и x = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k.

б)  Зна­че­нию k = 0 со­от­вет­ству­ют ре­ше­ния  минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , оба этих корня при­над­ле­жат от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При k боль­ше или равно 1 члены обеих серий боль­ше, чем π, а при k мень­ше или равно минус 1 члены обеих серий мень­ше, чем  минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . По­это­му дру­гих ре­ше­ний на за­дан­ном от­рез­ке нет.

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби и  дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

ИЛИ

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

 синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2025 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 2026 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x минус 1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но синус в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус левая круг­лая скоб­ка x плюс Пи пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x минус 1 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но ко­си­нус в квад­ра­те \left x минус синус x = 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x минус 1 рав­но­силь­но 1 минус синус в квад­ра­те x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x минус 1 =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка синус x =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус x =0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = Пи k, конец со­во­куп­но­сти .k при­над­ле­жит Z .

б)  Отберём корни при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. Под­хо­дят  дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , 2 Пи , 3 Пи ,  дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , 4 Пи .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , 2 Пи , 3 Пи ,  дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,  дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , 4 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 522