PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
ИЛИ
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: 
BC = 4, AA1 = 3. Через центр грани AA1D1D перпендикулярно диагонали BD1 проходит плоскость α, которая пересекает прямую A1B1 в точке N.
а) Докажите, что B1N : NA1 = 3 : 1.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC.
ИЛИ
Все ребра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 16. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SB и проходящая через точку O, пересекает рёбра SA и SD в точках K и L соответственно. Точка K делит ребро SA в отношении SK : KA = 3 : 5.
а) Докажите, что точка L — середина ребра SD.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OKL пересекает грань SCD.
Решите неравенство 
ИЛИ
Решите неравенство: 
Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 16 у. е., одного добытчика — в 9 у. е. Если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем, найдите отношение числа геологов к числу добытчиков.
ИЛИ
15 декабря 2025 года Дед Мороз, окончательно запутавшись в смете на подарки, решил взять кредит в банке «Ледниковый период» на сумму 12 миллионов рублей на 24 месяца. Помогает ему в этом Снегурочка, которая в прошлой жизни была финансовым аналитиком, но ушла в сказку из-за любви к оленям. Условия кредита, составленные хитрым банкиром Шкодиным:
— 1-го числа каждого месяца долг вырастает на r процентов — банк называет это «новогодней магией инфляции».
— со 2-го по 14-е число каждого месяца Дед Мороз должен одним платежом внести часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен уменьшаться ровно на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим 15-м числом — это условие называется «равномерное таяние долга, как снеговик в апреле».
— к 15 декабря 2027 года кредит должен быть полностью погашен — чтобы встретить Новый 2028 год без долгов и с чистой совестью.
Снегурочка, вооружившись волшебным калькулятором и глинтвейном, подсчитала, что общая сумма платежей в 2027 году составит 6 975 000 рублей. Найдите r.
В треугольнике АВС BC = 8, AC = 7 проведена биссектриса ВЕ, которая пересекает сторону АС в точке E, причем известно, что центр О вписанной в треугольник АВС окружности делит ВE в отношении BO : OE = 2 : 1.
а) Докажите, что сторона АВ делится точкой касания вписанной окружности в отношении 5 : 7, считая от точки А.
б) Найдите площадь треугольника АВС.
ИЛИ
В канун Нового года Дед Мороз решил проверить, не забыл ли он геометрию за годы раздачи подарков. Он нарисовал на льду озера параллелограмм ABCD и обнаружил удивительный факт: биссектриса угла BAC оказалась перпендикулярна диагонали BD — «Вот это новогоднее чудо!» — воскликнул он. Эта биссектриса пересекла сторону BC в точке L.
а) Дед Мороз просит Вас помочь ему доказать, что BL : LC = 1 : 2. Подсказка от Снегурочки: «Используй свойство биссектрисы и то, что в параллелограмме диагонали делятся пополам — как мандарины на столе!»
б) После доказательства Дед Мороз провел измерения и оказалось, что диагональ BD = 10, AL = 8. Найдите площадь четырехугольника DCLO, где O — точка пересечения диагоналей параллелограмма.
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство 
имеет ровно одно или два решения.
ИЛИ
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение:
имеет единственный корень.
В турнире по футболу на кубок Содружества участвовали 6 команд из России и 12 команд из других стран СНГ. При победе в матче команда получала 2 очка, в случае ничьей 1 очко, при поражении 0 очков. После окончания турнира оказалось, что все команды набрали разное количество очков. При этом сумма очков российских команд была равна сумме очков всех команд из других стран.
а) Могли ли все российские команды не проиграть ни одного матча с командами из других стран?
б) Могли ли российские команды побеждать во всех матчах с командами из других стран?
в) Может ли в тройке призеров турнира не быть ни одной российской команды?
ИЛИ
В новогоднюю ночь Дед Мороз и Баба Яга устроили математическое соревнование. Дед Мороз написал на волшебной доске число 8 (по количеству своих оленей), а затем каждую минуту дописывал новое число, которое получалось либо удвоением какого-то из уже написанных чисел, либо сложением двух любых имеющихся на доске чисел.
а) Могло ли на доске появиться число 2028?
б) Могла ли в какой-то момент сумма всех чисел на доске равняться 96?
в) Через какое наименьшее время (в минутах) на доске могло появиться число 896?
заключаем, что подходят 
и 
соответствуют решения 
и 
оба этих корня принадлежат 
члены обеих серий больше, чем π, а при 
члены обеих серий меньше, чем 
Поэтому других решений на заданном отрезке нет.
поэтому уравнение плоскости α имеет вид 
Пусть центр грани AA1D1D есть точка 
Подставим координаты этой точки в уравнение плоскости:
следовательно, уравнение прямой B1A1 суть 
Подставим в уравнение плоскости α и найдем точку пересечения прямой B1A1 и этой плоскости:
Найдем косинус искомого угла ϕ:
треугольник SDC — равносторонний, а потому 
По теореме косинусов для треугольника LDP получаем:
эквивалентен знаку выражения вида 
а знак выражения вида 
эквивалентен знаку выражения вида 
Получим:
Аналогично из треугольника ABE находим:
тогда
откуда 
Треугольник ABO также является равнобедренным, 
Получаем отношения:
Отсюда 
Далее:
то
за исключением точки 
и 
вершина которой находится в точке 
Третье уравнение совокупности задает прямую, проходящую через точки 
и 
Прямая, окружность и парабола разбивают ОДЗ на пять областей, внутри которых знак левой части неравенства не меняется. 
подставив эти значения
— верно.
неравенство имеет ровно одно решение (
);
неравенство имеет ровно два решения (
и 
);
неравенство имеет бесконечное число решений;
неравенство имеет ровно два решения (
и 
);
неравенство имеет бесконечное число решений;
неравенство имеет ровно одно решение (
является корнем исходного уравнения при
но при таком значении a, эти числа не являются корнями уравнения. Следовательно, ни при каких значениях a корни уравнения не совпадают.
и 
имеет два корня;
и 
имеет один корень;
очков, из которых 153 должны получить российские команды и 153 — прочие. Заметим, что прочие команды получают 
очка в играх между собой, поэтому еще 
очко они набирают в играх с российскими командами. Значит, проиграть все матчи российским командам они не могут (это пункт б).
очка в матчах между собой.
очка и сумма их очков как раз 153, слабые российские команды имеют по 17, а сильные российские по 24. Теперь упорядочим и российские по силе (при этом слабые сделаем тремя слабейшими) и пусть сильная всегда выигрывает у слабой. Тогда в итоге российские команды будут иметь результаты 17, 19, 21, 30, 32, 34. Как видно никаких повторов результата не произошло.
очка, поэтому на долю трех победителей приходится не более 
очка. Значит, команда, занявшая третье место, набрала не более 26 очков, поскольку 
Значит, российские команды набрали не более 
При этом 
Если же хоть один раз сделать не удвоение, а сложение, то при первом этом действии максимальное число вырастет не более чем в полтора раза (если максимальное x, то предыдущее было 
и потому максимальное число не превысит 