PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 512001 
Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа, Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. А) Последовательно получаем:
Б) Найдем искомые корни с помощью двойных неравенств. Решим неравенства относительно целых n.
Из серии корней 
Из серии корней 
Ответ: А) 
Б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: А) Б)
Б) 512001
А) Б)
Б) Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа, Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
ME = h. 
Следовательно, 
что и требовалось доказать.
Тогда: 
угол между 
и 
Тогда: 
до точек 
и 
равна 
Но и расстояние между точками 
Значит, 
причем 
То есть 
или 
причем 
поэтому 
и 
имеют вместе ровно два корня на отрезке 
то есть 
Тогда 
и первое уравнение имеет корень 
(не лежит на нужном промежутке), а второе — корень 
(подходит).
Оно не имеет корней при 
имеет один корень при 
имеет два корня при 
имеет один корень (второй не попадает в нужный промежуток) при 
и не имеет подходящих корней при 
Оно не имеет корней при 
имеет один корень при 
имеет два корня при 
имеет один корень (второй не попадает в нужный промежуток) при 
и не имеет подходящих корней при 
или 
Поскольку число точек 2n+k должно быть наибольшим, множитель n должен быть наименьшим. Возьмем n=1. Тогда 
а всего точек 
должен быть наибольшим. Так как 
и 
наибольшее возможное значение n равно 31. Значит, 
Получаем 67 точек.
(1). С учетом результата пункта б), необходимо найти наименьшее количество точек 
удовлетворяющее неравенству (1). Если 
при k=0, n=33 треугольников будет 
и неравенство (1) выполнено. Если 
при k=1, n=32 всего треугольников 
При 
будем иметь: 
значит, 
и неравенство (1) не будет выполняться.