ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 512003 Добавить в вариант

Решите неравенство $\log _x левая круглая скобка 11x минус 2x в квадрате правая круглая скобка плюс \log _11 минус 2xx в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка меньше или равно 5.$

Спрятать решение

Решение.

Ограничения на x: $0 меньше x меньше 5,5;x не равно 1;x не равно 5.$

На множестве допустимых значений x:

$\log _x левая круглая скобка 11x минус 2x в квадрате правая круглая скобка плюс \log _11 минус 2xx в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка меньше или равно 5 равносильно \log _xx плюс \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка конец дроби минус 5 меньше или равно 0$ $\log _x левая круглая скобка 11x минус 2x в квадрате правая круглая скобка плюс \log _11 минус 2xx в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка меньше или равно 5 равносильно$
$равносильно \log _xx плюс \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка конец дроби минус 5 меньше или равно 0$

$равносильно \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка конец дроби минус 4 меньше или равно 0.$

Введем новую переменную. Пусть $\log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка =t.$ Тогда:

$t плюс дробь: числитель: 4, знаменатель: t конец дроби минус 4 меньше или равно 0$   $равносильно$   $равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 4t плюс 4, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0$   $равносильно$   $дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0$   $равносильно$   $совокупность выражений новая строка t=2 , новая строка t меньше 0 конец совокупности ..$

Перейдем к переменной x.

$\log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 11 минус 2x=x в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x минус 11=0 равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 11 конец аргумента равносильно x= минус 1\pm 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $\log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 11 минус 2x=x в квадрате равносильно x в квадрате плюс 2x минус 11=0 равносильно$
$равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 11 конец аргумента равносильно x= минус 1\pm 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ $\log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 11 минус 2x=x в квадрате равносильно$
$равносильно x в квадрате плюс 2x минус 11=0 равносильно$
$равносильно x= минус 1\pm корень из: начало аргумента: 1 плюс 11 конец аргумента равносильно x= минус 1\pm 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

С учетом ограничений на x: $x=2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1.$

$\log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка меньше 0 равносильно \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка меньше \log _x1 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 11 минус 2x минус 1 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x минус 10 правая круглая скобка больше 0$ $\log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка меньше 0 равносильно \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка меньше \log _x1 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 11 минус 2x минус 1 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x минус 10 правая круглая скобка больше 0$ $\log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно \log _x левая круглая скобка 11 минус 2x правая круглая скобка меньше \log _x1 левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 11 минус 2x минус 1 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 2x минус 10 правая круглая скобка больше 0$

$равносильно левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка больше 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 1 , новая строка x больше 5 . конец совокупности .$

С учетом ограничений на x:

$совокупность выражений новая строка 0 меньше x меньше 1 , новая строка 5 меньше x меньше 5,5 . конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5;5,5 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента минус 1 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 509522: 512003 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 120

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь