СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 512007

А) При каком наибольшем N на окружности можно отметить N точек так, то среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся ровно 2015 прямоугольных треугольников?

Б) При каком наименьшем N на окружности можно отметить N точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся ровно 2015 прямоугольных треугольников?

В) При каком наименьшем N на окружности можно отметить N точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся по крайней мере 2015 прямоугольных треугольников?

Решение.

а) Среди отмеченных точек должно быть хотя бы две диаметрально противоположные (иначе не будет прямоугольных треугольников). Пусть у нас 2n точек имеющих диаметрально противоположные, лежащих на концах n диаметров, и k не имеющих диаметрально противоположных. Каждый диаметр образует с любой из оставшихся 2n-2+k точек прямоугольный треугольник. Поэтому всего их будет Поскольку число точек 2n+k должно быть наибольшим, множитель n должен быть наименьшим. Возьмем n=1. Тогда , а всего точек

 

б) Чтобы число точек 2n+k было наименьшим, множитель n в формуле должен быть наибольшим. Так как и , наибольшее возможное значение n равно 31. Значит, Получаем 67 точек.

 

в) Должно выполняться неравенство (1). С учетом результата пункта б), необходимо найти наименьшее количество точек , удовлетворяющее неравенству (1). Если , при k=0, n=33 треугольников будет и неравенство (1) выполнено. Если , при k=1, n=32 всего треугольников При будем иметь: значит, , и неравенство (1) не будет выполняться.

 

Ответ:а)2017; б)67; в)65.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 120.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства