А) При каком наибольшем N на окружности можно отметить N точек так, то среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся ровно 2015 прямоугольных треугольников?
Б) При каком наименьшем N на окружности можно отметить N точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся ровно 2015 прямоугольных треугольников?
В) При каком наименьшем N на окружности можно отметить N точек так, что среди треугольников с вершинами в отмеченных точках найдётся по крайней мере 2015 прямоугольных треугольников?
а) Среди отмеченных точек должно быть хотя бы две диаметрально противоположные (иначе не будет прямоугольных треугольников). Пусть у нас 2n точек имеющих диаметрально противоположные, лежащих на концах n диаметров, и k не имеющих диаметрально противоположных. Каждый диаметр образует с любой из оставшихся 2n-2+k точек прямоугольный треугольник. Поэтому всего их будет 
Поскольку число точек 2n+k должно быть наибольшим, множитель n должен быть наименьшим. Возьмем n=1. Тогда 
а всего точек 
б) Чтобы число точек 2n+k было наименьшим, множитель n в формуле 
должен быть наибольшим. Так как 
и 
наибольшее возможное значение n равно 31. Значит, 
Получаем 67 точек.
в) Должно выполняться неравенство 
(1). С учетом результата пункта б), необходимо найти наименьшее количество точек 
удовлетворяющее неравенству (1). Если 
при k=0, n=33 треугольников будет 
и неравенство (1) выполнено. Если 
при k=1, n=32 всего треугольников 
При 
будем иметь: 
значит, 
и неравенство (1) не будет выполняться.
Ответ:а)2017; б)67; в)65.