СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 512007

А) При каком наи­боль­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, то среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

Б) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

В) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся по край­ней мере 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

Ре­ше­ние.

а) Среди от­ме­чен­ных точек долж­но быть хотя бы две диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные (иначе не будет пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков). Пусть у нас 2n точек име­ю­щих диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ные, ле­жа­щих на кон­цах n диа­мет­ров, и k не име­ю­щих диа­мет­раль­но про­ти­во­по­лож­ных. Каж­дый диа­метр об­ра­зу­ет с любой из остав­ших­ся 2n-2+k точек пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. По­это­му всего их будет По­сколь­ку число точек 2n+k долж­но быть наи­боль­шим, мно­жи­тель n дол­жен быть наи­мень­шим. Возь­мем n=1. Тогда , а всего точек

 

б) Чтобы число точек 2n+k было наи­мень­шим, мно­жи­тель n в фор­му­ле дол­жен быть наи­боль­шим. Так как и , наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние n равно 31. Зна­чит, По­лу­ча­ем 67 точек.

 

в) Долж­но вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство (1). С уче­том ре­зуль­та­та пунк­та б), не­об­хо­ди­мо найти наи­мень­шее ко­ли­че­ство точек , удо­вле­тво­ря­ю­щее не­ра­вен­ству (1). Если , при k=0, n=33 тре­уголь­ни­ков будет и не­ра­вен­ство (1) вы­пол­не­но. Если , при k=1, n=32 всего тре­уголь­ни­ков При будем иметь: зна­чит, , и не­ра­вен­ство (1) не будет вы­пол­нять­ся.

 

Ответ:а)2017; б)67; в)65.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства