Ре­ше­ние. Сред­няя линия от­се­ка­ет от тре­уголь­ни­ка по­доб­ный ему с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия  Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия. Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. Ко­ор­ди­на­ты точки A вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 5 − x  =  3, 3 − y  =  1. От­ку­да x  =  2, y  =  2.

Ответ: 2.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку вы­со­та куба равна вы­со­те приз­мы, их объ­е­мы про­пор­ци­о­наль­ны пло­ща­дям их ос­но­ва­ний. Пло­щадь ос­но­ва­ния по­стро­ен­ной приз­мы в 8 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния ис­ход­ной, по­это­му ис­ко­мый объем приз­мы равен 12 : 8  =  1,5.

Ответ: 1,5.

Ре­ше­ние. В са­мо­ле­те 12 + 18  =  30 мест удоб­ны пас­са­жи­ру В., а всего в са­мо­ле­те 300 мест. По­это­му ве­ро­ят­ность того, что пас­са­жи­ру В. до­ста­нет­ся удоб­ное место, равна 30 : 300  =  0,1.

Ответ: 0,1.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы опре­де­ля­ем, что:

Под­ста­вим най­ден­ные зна­че­ния в фор­му­лу услов­ной ве­ро­ят­но­сти, по­лу­чим:

Ответ: 0,4.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к од­но­му ос­но­ва­нию сте­пе­ни:

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зу­ем фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла :

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Функ­ция, диф­фе­рен­ци­ру­е­мая на от­рез­ке [a; b], не­пре­рыв­на на нем. Если функ­ция не­пре­рыв­на на от­рез­ке [a; b], а её про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (от­ри­ца­тель­на) на ин­тер­ва­ле (a; b), то функ­ция воз­рас­та­ет (убы­ва­ет) на от­рез­ке [a; b].

По­это­му про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции не­по­ло­жи­тель­на, то есть от­рез­ку [−2,5; 6,5]. Дан­ный от­ре­зок со­дер­жит сле­ду­ю­щие целые точки: −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, сумма ко­то­рых равна 18.

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Най­дем ско­рость груза через 1 се­кун­ду после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Най­дем ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 1 се­кун­ду после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Ответ: 0,0025.

Ре­ше­ние. Пусть масса пер­во­го спла­ва m кг, а масса вто­ро­го  — кг, масса тре­тье­го спла­ва − кг. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой − 40% меди, тре­тий сплав − 30% меди. Тогда:

Таким об­ра­зом, масса пер­во­го спла­ва равна 3 кг, тогда масса тре­тье­го спла­ва равна 9 кг.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем дан­ную функ­цию:

Гра­фик функ­ции имеет го­ри­зон­таль­ную асимп­то­ту y  =  1, зна­чит, k  =  1.

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Най­ден­ная про­из­вод­ная не­от­ри­ца­тель­на на за­дан­ном от­рез­ке, за­дан­ная функ­ция воз­рас­та­ет на нем, по­это­му наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. а)  За­пи­шем ис­ход­ное урав­не­ние в виде За­ме­тим, что вы­ра­же­ние, сто­я­щее под зна­ком ло­га­риф­ма, при­рав­не­но к по­ло­жи­тель­но­му числу, по­это­му ис­сле­до­вать ОДЗ не тре­бу­ет­ся.

Для ре­ше­ния по­лу­чен­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го урав­не­ния ис­поль­зу­ем фор­му­лу си­ну­са двой­но­го угла от­ку­да по­лу­ча­ем от­ку­да или

Из урав­не­ния на­хо­дим: или

Из урав­не­ния на­хо­дим:

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку По­лу­чим числа:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, точка M  — се­ре­ди­на ребра AD, от­рез­ки AO и DQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K, а от­рез­ки MO и DQ пе­ре­се­ка­ют­ся в точке N. Тогда MO  — сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке ADB, а NO  — сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке QDB. Зна­чит,

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки AKQ и OKN равны. Сле­до­ва­тель­но, точка K  — се­ре­ди­на от­рез­ка AO. Зна­чит, пря­мая PK со­дер­жит сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка ASO, по­это­му она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD. Плос­кость DPQ со­дер­жит пря­мую PK, по­это­му она тоже пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния.

б)  Пусть сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна h. Тогда пло­щадь се­че­ния DSB равна

от­ку­да Пло­щадь се­че­ния DPQ равна

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда

Далее имеем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть ра­бо­чие пер­во­го за­во­да за не­де­лю про­из­во­дят x при­бо­ров, вто­ро­го за­во­да  — y при­бо­ров, и пусть вы­пол­не­но усло­вие. x + y  =  20. Тогда доля че­ло­ве­ко-часов, за­тра­чен­ных на пер­вом за­во­де, со­ста­вит 4x³, а на вто­ром  — y³. Таким об­ра­зом, Лео­ни­ду при­дет­ся за­пла­ни­ро­вать на опла­ту труда ра­бо­чих обоих за­во­дов тысяч руб­лей в не­де­лю. Так как y  =  20 − x, то

Най­дем наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на

Ис­ко­мый ко­рень по­ло­жи­те­лен, он равен За­ме­тим, что на это един­ствен­ная точка экс­тре­му­ма. Если она ока­жет­ся точ­кой ми­ни­му­ма функ­ции, то функ­ция имен­но в этой точке и до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния. Най­дем

Итак, кри­ти­че­ская точка функ­ции точка яв­ля­ет­ся точ­кой ми­ни­му­ма функ­ции S(x).

По­сколь­ку ко­ли­че­ство из­го­тов­лен­ных при­бо­ров будет вы­ра­жать­ся чис­лом на­ту­раль­ным, то наи­мень­шая сумма, не­об­хо­ди­мая для вы­пла­ты ра­бо­чим, будет до­стиг­ну­та либо при x  =  6, либо при x  =  7. Срав­ним эти зна­че­ния:

Итак, ис­ко­мая сумма 3 569 000 руб­лей.

Ответ: 3 569 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  Возьмём на диа­го­на­ли AC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD точку O (не по­се­ре­ди­не) и про­ведём через неё пер­пен­ди­ку­ля­ры NL и KM к сто­ро­нам па­рал­ле­ло­грам­ма (см. рис.). Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CKO и AMO по­доб­ны. Точно так же по­доб­ны тре­уголь­ни­ки CNO и ALO:

От­сю­да сле­ду­ет по­до­бие тре­уголь­ни­ков ONK и OLM. Тогда на­крест ле­жа­щие углы OML и OKN равны, а по­это­му пря­мые NK и ML па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник KLMN  — па­рал­ле­ло­грамм или тра­пе­ция.

До­ка­жем, что это тра­пе­ция. Если KLMN  — па­рал­ле­ло­грамм, то ON  =  OL. В этом слу­чае OC  =  OA, то есть O  — се­ре­ди­на AC. Про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, KLMN  — тра­пе­ция.

б)  Обо­зна­чим пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма S, а его ост­рый угол – α. Угол между диа­го­на­ля­ми NL и KM тра­пе­ции KLMN равен углу между пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми диа­го­на­лям пря­мы­ми BC и CD, то есть этот угол равен α.

По­это­му пло­щадь тра­пе­ции равна:

Под­став­ляя α  =  60° и S  =  16, по­лу­ча­ем, что пло­щадь тра­пе­ции равна

Ответ: 6.

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та а) Ивана Ива­но­ва (Вла­ди­во­сток).

Сумма углов AMO и ALO равна 90° + 90°  =  180°. Сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник AMOL  — впи­сан­ный. По­это­му впи­сан­ные углы LAO и LMO равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу.

Сумма углов CNO и CKO равна 90° + 90°  =  180°. Сле­до­ва­тель­но, четырёхуголь­ник KONC  — впи­сан­ный. По­это­му впи­сан­ные углы NKO и NCO равны, по­сколь­ку опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу.

Углы LAO и NCO равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых AD и BC и се­ку­щей AC. Сле­до­ва­тель­но, углы LMO и NKO равны, по­это­му пря­мые NK и ML па­рал­лель­ны по ра­вен­ству на­крест ле­жа­щих углов.    

До­ка­жем, что че­ты­рех­уголь­ник  — тра­пе­ция. Имеем:

Сле­до­ва­тель­но, и от­рез­ки MO и KO не равны, зна­чит, KLMN не па­рал­ле­ло­грамм. Тогда это тра­пе­ция.

Ре­ше­ние. Если то урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

Пусть Тогда

и ни одно число от­рез­ка [2; 3] не яв­ля­ет­ся его ре­ше­ни­ем.

Пусть За­пи­шем урав­не­ние в виде

где при a > −2,5 верно не­ра­вен­ство Ис­поль­зу­ем гео­мет­ри­че­ский смысл мо­ду­ля: урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ют те и толь­ко те точки x, сумма рас­сто­я­ний от каж­дой из ко­то­рых до точек равна рас­сто­я­нию между этими точ­ка­ми. По­это­му ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся все числа из от­рез­ка и толь­ко они.

Оста­лось вы­брать те зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых от­ре­зок со­дер­жит от­ре­зок Это вы­пол­не­но тогда и толь­ко тогда, когда

Ответ: a ≥ 1.

Ре­ше­ние. а)   по­это­му если взять по 11 раз числа 16 и 17, то по­лу­чит­ся под­хо­дя­щий при­мер:

11 · (16 + 17)  =  363; 11 · (71 + 61)  =  1452  =  4 · 363.

б)  Обо­зна­чим сумму всех цифр де­сят­ков за a, а всех цифр еди­ниц за b. Тогда от­ку­да что не­воз­мож­но  — 363 не крат­но 9.

в)  Нужно мак­си­ми­зи­ро­вать вы­ра­же­ние по­это­му a сле­ду­ет сде­лать как можно мень­ше. С дру­гой сто­ро­ны, (по­сколь­ку пер­вая цифра числа мень­ше его по­след­ней цифры не более чем в 9 раз), по­это­му от­ку­да

При­ве­дем при­мер  — что воз­мож­но, на­при­мер, для трех чисел 19 и сем­на­дца­ти чисел 18. Новая сумма тогда будет равна

Ответ: а)  17 и 16; б)  нет; в)  1650.