Имеется набор отрезков, два самых коротких из них имеют длину 1, самый длинный имеет длину 45.
а) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 5 отрезков?
б) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник, если набор состоит из 60 отрезков?
в) Какое наибольшее число отрезков может быть в наборе, чтобы ни из каких трёх нельзя было составить треугольник?
а) Пусть отрезки имеют длины 1, 1, 4, 10 и 45. Тогда ясно, что ни для каких трех из них неравенство треугольника не выполняется.
б) Упорядочим отрезки по возрастанию: 
Пусть ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Тогда получаем неравенства: 
Значит, 
еще больше. Противоречие.
в) Из пункта б) ясно, что отрезков не может быть 10 или больше. Пусть отрезков 9 и их длины равны 1,1,2,3,5,8,13,21,45. Тогда ни из каких трёх отрезков составить треугольник нельзя, поскольку самый длинный из них будет больше или равен сумме двух других.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.