СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 511903

Име­ет­ся набор от­рез­ков, два самых ко­рот­ких из них имеют длину 1, самый длин­ный имеет длину 45.

а) Может ли ока­зать­ся, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник, если набор со­сто­ит из 5 от­рез­ков?

б) Может ли ока­зать­ся, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник, если набор со­сто­ит из 60 от­рез­ков?

в) Какое наи­боль­шее число от­рез­ков может быть в на­бо­ре, чтобы ни из каких трёх нель­зя было со­ста­вить тре­уголь­ник?

Ре­ше­ние.

а) Пусть от­рез­ки имеют длины 1, 1, 4, 10 и 45. Тогда ясно, что ни для каких трех из них не­ра­вен­ство тре­уголь­ни­ка не вы­пол­ня­ет­ся.

 

б) Упо­ря­до­чим от­рез­ки по воз­рас­та­нию: Пусть ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник. Тогда по­лу­ча­ем не­ра­вен­ства: Зна­чит, еще боль­ше. Про­ти­во­ре­чие.

 

в) Из пунк­та б) ясно, что от­рез­ков не может быть 10 или боль­ше. Пусть от­рез­ков 9 и их длины равны 1,1,2,3,5,8,13,21,45. Тогда ни из каких трёх от­рез­ков со­ста­вить тре­уголь­ник нель­зя, по­сколь­ку самый длин­ный из них будет боль­ше или равен сумме двух дру­гих.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства