PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку 
Решение. Решение 1.
1. Рассмотрим случай: 
а) левая часть уравнения имеет смысл при строгом совпадении знаков синуса и косинуса, а такой случай возможен только лишь в первой и третьей четвертях.
б) из-за неотрицательности правой части уравнения (его левая часть арифметический квадратный корень) потребуем:
Таким образом, первая четверть из дальнейшего рассмотрения исключается. Значит, 
2. Пусть 
Тогда и левая, и правая части уравнения обратятся в нуль. Следовательно, числа вида 
и есть корни исходного уравнения.
3. Если 
то левая часть уравнения обратится в нуль. Однако при 
правая часть примет значение: либо ?1, либо 1. Равенство обеих частей невыполнимо.
Объединим полученные результаты. 
или
б) Отбор корней сделаем с помощью единичной окружности.
Ответ: а) 
Решение 2.
а) Возведем уравнение в квадрат, не забывая о том, что 
Либо 
либо 
(набор 
не удовлетворяет условию 
).
б) На указанный отрезок попадают 
Ответ а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
(использована известная формула 
в нашем случае a = 2).
А это значит, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.
перпендикулярного как к вектору 
так и к вектору 
Пусть его координаты будут равны 
Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, 
Заменим этот вектор ему коллинеарным, поделив полученные координаты на 
и проходящей через точку любую точку прямой AC1. Искомое уравнение будет иметь вид: 
где a, b, c — соответствующие координаты вектора 
— координаты любой точки прямой AC1. Пусть такой точкой будет А. Тогда:
то есть уменьшается.
или при 
Она же будет иметь ровно два решения при
система (1) решений не будет иметь. Теперь рассмотрим систему (2). 
система либо не имеет решений, либо имеет бесчисленное множество решений. Случай бесчисленного множества решений исключается, так как для того чтобы система (2) имела бесчисленное множество решений, кроме условия 
потребуется выполнение равенства 
Однако оно не выполнимо, так как 
: 
: 
или 
системы (1) и (2), следовательно, и исходная система имеют ровно два решения: (3; 0) и (1; –2). Обобщим наши исследования и для большей наглядности данные занесем в таблицу: 
Пусть ни из каких трёх отрезков нельзя составить треугольник. Тогда получаем неравенства: 
еще больше. Противоречие.