PDF-версии: 
Найдите все корни уравнения sin(2x) = 1, удовлетворяющие неравенству 
Решение. Последовательно получаем:
Для решения неравенства 
воспользуемся геометрическим смыслом модуля. Левая ее часть на числовой прямой представляет собой сумму расстояний от точки 
до точек (1) и (8) не больше 7. Следовательно, верно неравенство
Теперь найдем целочисленные значения x, удовлетворяющие условию 
Если n = 0, то: 
Ясно, что 
Докажем, что 
(неравенство очевидное).
Если n = 1, то 
Очевидно, что 
Докажем, что 
Действительно, 
Получили очевидное неравенство.
Заметим, что при 
будет выполнено неравенство 
Действительно, уже при 
имеем:
(неравенство очевидное).
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Поскольку точки S, A, B, C лежат на этой сфере, их коррдинаты удовлетворяют уравнению сферы. Тогда будем иметь систему 
Теперь найдем координаты точки О. Ясно, что: 
обязаны удовлетворять полученноой системе. Проверим. 
соедиим отрезком точки S и D. По теореме о трех перпендикулярах: 
значит, 
Это позволяет сделать замену переменной 
где 
На этом множестве значений переменной t справедливо тождество
решим неравенство 
методом интервалов на отрезке 
Для этого найдем нули функции на этом отрезке:
на промежутки знакопостоянства функции 
Возьмем пробную точку:
и на 
и 
заключаем, что 
или 
— абсциссы вершин D и C соответственно, 
— середина отрезка 
Тогда: 
прямой АВ. 
то, зная координаты точек 
и 
можно получить уравнение биссектрисы. 
По признаку окружности , вписанной в четырехугольник: 
Значит, 
Она лежит на пересечении серединного перпендикуляра к прямой 
и прямой 
Угловой коэффициент 
прямой 
прямой, перпендикулярной CD, будет: 
или 
часа.
часа.
часа,
— точка 
Поскольку вершина 
параболы 
симметрична вершине параболы 
не совпадающей с их общей касательной и пересекающей каждую из заданных парабол в ровно в одной точке. Отсюда ясно, что эта прямая обязана быть параллельной оси ординат. 
равен 
только в том случае, если ординаты точек Т и 
совпадут. Следовательно, 
А это значит, что осью симметрии параболы 
Абсциссой точки 
будет 
Так как абсциссы точек 
и 
где 
Найдем точку пересечения TK с прямой 
А это значит, что 
Значит, 
Значит, 
и 
- целое число. Поэтому x может быть равно только 
Значит, 
Кроме того, 7x является целым числом. Значит, x равно 
или 0.
Значит, 
б)
0; в)