Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C3 № 511161

Решите неравенство  левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка корень из дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x плюс 3 конец дроби плюс 2 меньше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Ограничения на x: x меньше минус 3,x больше или равно минус 1.

 

1. Рассмотрим неравенство на множестве  левая квадратная скобка минус 1; плюс бесконечность правая круглая скобка , где x плюс 3 больше 0.

На нем:

 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка корень из дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x плюс 3 конец дроби плюс 2 меньше или равно 0  равносильно  левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 умножить на корень из дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x плюс 3 конец дроби плюс 2 меньше или равно 0  равносильно  равносильно левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс 3 умножить на корень из левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0.

Введем новую переменную.

Пусть  корень из левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =t,t больше или равно 0, тогда t в квадрате плюс 3t плюс 2 меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно t меньше или равно минус 1.

Мы получили неравенство  минус 2 меньше или равно корень из левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно минус 1, у которого решений нет.

 

2. Рассмотрим теперь исходное неравенство на множестве  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка . Там x плюс 3 меньше 0.

Неравенство перепишем так:

 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на левая круглая скобка минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка правая круглая скобка корень из дробь: числитель: x плюс 1, знаменатель: x плюс 3 конец дроби плюс 2 меньше или равно 0. И тогда  минус левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше 0,

появляется возможность внести его под корень четной степени. Далее:

 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на корень из дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: x плюс 3 конец дроби плюс 2 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 3 умножить на корень из левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 2 меньше или равно 0.

Если  корень из левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =t, t больше или равно 0, то t в квадрате минус 3t плюс 2 меньше или равно 0 равносильно 1 меньше или равно t меньше или равно 2.

 

Теперь решим неравенство 1 меньше или равно корень из левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 2 на множестве  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 3 правая круглая скобка .

 

а) 

 система выражений  новая строка x меньше минус 3 , новая строка корень из левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x меньше минус 3 , новая строка x в квадрате плюс 4x плюс 3 больше или равно 1 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x меньше минус 3 , новая строка x в квадрате плюс 4x плюс 2 больше или равно 0 конец системы . равносильно

 

 равносильно система выражений x меньше минус 3, новая строка совокупность выражений  новая строка x меньше или равно минус 2 минус корень из 4 минус 2, новая строка x больше или равно минус 2 плюс корень из 2 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений  новая строка x меньше минус 3 , новая строка x меньше или равно минус 2 минус корень из 2 конец системы . равносильно x меньше или равно минус 2 минус корень из 2.

 

б) 

 система выражений  новая строка x меньше минус 3 , новая строка корень из левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка меньше или равно 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x меньше минус 3 , новая строка 0 меньше или равно x в квадрате плюс 4x плюс 3 меньше или равно 4 конец системы . равносильно система выражений  новая строка x меньше минус 3 , новая строка x в квадрате плюс 4x минус 1 меньше или равно 0 , новая строка x в квадрате плюс 4x плюс 3 больше или равно 0 конец системы . равносильно

 

 равносильно система выражений  новая строка x меньше минус 3 , новая строка минус 2 минус корень из 4 плюс 1 меньше или равно x меньше или равно минус 2 плюс корень из 5 , новая строка совокупность выражений  новая строка x меньше или равно минус 3 , новая строка x больше или равно минус 1 конец системы . конец совокупности . равносильно минус 2 минус корень из 5 меньше или равно x меньше минус 3.

Пересечем результаты, полученные в подпунктах а) и б). Искомым множеством будет числовой отрезок  левая квадратная скобка минус 2 минус корень из 5; минус 2 минус корень из 2 правая квадратная скобка .

 

Ответ:  левая квадратная скобка минус 2 минус корень из 5 ; минус 2 минус корень из 2 правая квадратная скобка

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 111.
Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов