Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C5 № 511163

Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 часа раньше. Определите число землекопов в каждой бригаде, если известно, что производительность у землекопов одинакова.

Спрятать решение

Решение.

Пусть численность землекопов первой бригады составляет x, второй — y человек. Объем выполненной работы примем за А, производительность труда каждого землекопа  — p. В таком случае производительность труда каждой из бригад также будет равна p.

Первая бригада за каждый час выполняет p часть всей работы, вторая — py часть. Первая бригада с заданием справится за  дробь: числитель: A, знаменатель: px конец дроби ч, вторая — за  дробь: числитель: A, знаменатель: py конец дроби ч. В соответствии с условием задачи имеем:

 дробь: числитель: A, знаменатель: py конец дроби минус дробь: числитель: A, знаменатель: px конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, чем было, то задание она выполнила бы за  дробь: числитель: A, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: A, знаменатель: p левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби ч. Значение этого выражения равно 2.

 

Рассмотрим систему уравнений:

 система выражений  новая строка дробь: числитель: A, знаменатель: py конец дроби минус дробь: числитель: A, знаменатель: px конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , новая строка дробь: числитель: A, знаменатель: px конец дроби минус дробь: числитель: A, знаменатель: p левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби =2 . конец системы .

Умножив обе части первого уравнения системы на 4, получим:  дробь: числитель: 4A, знаменатель: py конец дроби минус дробь: числитель: 4A, знаменатель: px конец дроби =2.

Приравняв левую часть полученного уравнения к левой части второго уравнения системы, будем иметь:

 дробь: числитель: 4A, знаменатель: py конец дроби минус дробь: числитель: 4A, знаменатель: px конец дроби = дробь: числитель: A, знаменатель: px конец дроби минус дробь: числитель: A, знаменатель: p левая круглая скобка плюс 5 правая круглая скобка конец дроби .

Теперь можно обе части полученного равенства разделить на  дробь: числитель: , знаменатель: конец дроби не равно 0.

Тогда же:

 дробь: числитель: 4, знаменатель: y конец дроби минус дробь: числитель: 4, знаменатель: x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 5 конец дроби равносильно дробь: числитель: 4, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: x конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x плюс 5 конец дроби равносильно дробь: числитель: 4, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 5x плюс 25 минус x, знаменатель: x левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: 4, знаменатель: y конец дроби = дробь: числитель: 4x плюс 25, знаменатель: x левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби равносильно

 

 равносильно дробь: числитель: y, знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: x в квадрате плюс 5x, знаменатель: 4x плюс 25 конец дроби равносильно y= дробь: числитель: 4x в квадрате плюс 20x, знаменатель: 4x плюс 25 конец дроби равносильно y= дробь: числитель: 4x в квадрате плюс 25x, знаменатель: 4x плюс 25 конец дроби минус дробь: числитель: 5x, знаменатель: 4x плюс 25 конец дроби равносильно y=x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 плюс дробь: числитель: 25, знаменатель: x конец дроби конец дроби .

Числа y и x — натуральные. 4 плюс дробь: числитель: 25, знаменатель: x конец дроби , будучи также натуральным, не может быть больше 5. Для выражения  дробь: числитель: 25, знаменатель: x конец дроби единственно допустимо: оно может принять значение, равное 1. И только. А это произойдет лишь при x = 25. При таком значении x значение y будет равно 24.

 

Ответ: 25 и 24 человека.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 111.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: Разные задачи с прикладным содержанием