Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 511165

Петя задумал натуральное число, большее 100. Вера называет натуральное число N, большее 1. Если число Пети делится на N, то Вера выиграла, иначе Петя вычитает из своего числа число N, и игра продолжается. Называть ранее названные числа Вера уже не может. Когда число Пети станет отрицательным, Вера проигрывает. Есть ли у Веры выигрышная стратегия?

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим такую стратегию Веры: называть последовательно числа 2, 3, 4, 6, 16, 12 (конечно, если, скажем на числе 3 Вера выигрывает, то дальше игра не продолжается). Докажем, что она выигрышная.

Рассмотрим Петино число. Если оно четное, то ясно, что Вера выигрывает первым же ходом. Пусть оно нечетное.

Рассмотрим всевозможные остатки при делении Петиного числа на 12.

Если оно имеет вид 12k+5 или 12k+11, где k натуральное, то Вера выигрывает вторым ходом (потому что после первого хода, получается число 12k+3 или 12k+9, которое делится на 3).

Если оно имеет вид 12k+1, то последовательно получаются числа 12k-1, 12k-4, и здесь игра кончается, потому что 12k-4 делится на 4.

Если оно имеет вид 12k+3, то последовательно получаются числа 12k+1, 12k-2, 12k-6, и здесь игра кончается, потому что 12k-6 делится на 6.

Если оно имеет вид 12k+7, то последовательно получаются числа 12k+5, 12k+2, 12k-2, 12k-8, 12k-24 и здесь игра кончается, потому что 12k-24 делится на 12.

Если оно имеет вид 12k+9, то последовательно получаются числа 12k+7, 12k+4, и здесь игра кончается, потому что 12k+4 делится на 4.

Осталось заметить, что число 2+3+4+6+16+12<100, поэтому игра кончится раньше, чем Петино число станет отрицательным.

 

Ответ: Есть.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 111.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства