PDF-версии: 1. Тип 13 № 675941 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения и неравенства
Уравнения. Тригонометрия и логарифмы
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Заметим, что по свойствам логарифма 
а 
следовательно, 
Тогда исходное уравнение примет вид:
Ограничениям удовлетворяет только серия 
б) Отберем корни при помощи двойного неравенства:
Полученное неравенство имеет целое решение k = 13, которому соответствует 
Ответ: 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
675941
то есть 
—
Углы AHG и ABC равны как соответственные, образованные при пересечении параллельных прямых HG и BC секущей AB, аналогично равны углы AGH и ACB. Таким образом, 
и треугольник ABC — равнобедренный по свойству. Отсюда 
поэтому треугольник DAK — равнобедренный и прямоугольный, 
Площадь ортогональной проекции есть произведение площади исходной фигуры на косинус угла между проекцией и фигурой, то есть:
и ABC
как соответственные, образованные при пересечении параллельных прямых 
и BC секущей AB. 
Следовательно, выбранные треугольники подобны 
Аналогично подобны треугольники AHG и ABC, но в этом случае 
и 
Получаем:
—
находим:
Таким образом,
Частное решение данного уравнения — 
тогда 
где k — целое число. Так как a и b — натуральные числа, возможны только два значения k: 
тогда 
или 
тогда 
Так как количество загруженных на паром микроавтобусов составляет не более 70% от количества загруженных на паром грузовиков, получаем, что 
В таком случае суммарная стоимость всех микроавтобусов и грузовиков, перевозимых паромом, равна 
тысяч
Угол MPQ смежный с углом BPQ, поэтому 
Отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD, она параллельна BC, а потому 
Через вершину трапеции B проведем прямую, параллельную боковой стороне CD, пусть L — точка ее пересечения с основанием AD. Стороны треугольника ABL равны 21, 17 и 20. Найдем его площадь по формуле Герона, затем найдем высоту h, проведенную к стороне AL, она будет являться также высотой трапеции ABCD:
по теореме синусов для треугольника MPN, находим радиус окружности, описанной около треугольника MPQ: 
можно найти отрезок MQ по теореме синусов для треугольника MQN: 
тогда 
то есть 
Проявив опыт и смекалку, запишем полученное неравенство в виде
для 
Поскольку 
для всех y, функция f возрастающая. Следовательно, неравенство относительно значений функции можно заменить равносильным неравенством на аргументы. Тогда 
откуда 
то есть 
которое должно быть выполнено для всех х из отрезка 
положителен, поэтому если значения g на концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны. Получаем систему:
получим неравенство 
Запишем это неравенство в виде 
Этим задача сведена к неравенству 
для возрастающей функции 
Таким образом, 
откуда 
Тогда если 
то 
на всем отрезке 
откуда 
то 
Все такие числа t являются решениями, поскольку правая часть не меньше −2.
то левая часть отрицательна, а правая положительна. Неравенство верно. 
то обе части неравенства равны 0. Неравенство неверно. 
то левая часть положительна, а правая отрицательна. Решений нет.
то в силу неравенства 
справедливого для положительных α, получаем:
то 
В этом случае решений нет, поскольку правая часть не больше 2. 
Следовательно, 
и далее как ранее.